Между узлом A и землёй включены три ветви, как показано на схеме. Методом узловых потенциалов найдите ток I2 в ветви 2, текущий вверх в узел A по направлению стрелки.
Найдите напряжение Тевенина Vth со стороны зажимов a–b.
V1 = 6 VR1 = 2 ΩR2 = 6 ΩR3 = 12 Ω
Vth = V
6.Тевенин и НортонСложная
Найдите напряжение Тевенина Vth со стороны зажимов a–b.
V1 = 6 VIs = 6 AR1 = 6 ΩR2 = 15 ΩR3 = 25 Ω
Vth = V
7.Переходные процессы RC и RLСредняя
Через катушку течёт установившийся ток 2,5 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. За какое время ток уменьшится до 0,25 A? Найдите t.
i(0) = 2,5 AR = 100 ΩL = 68 mH
t = ms
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Ключ, шунтирующий R2, был разомкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ замыкается и закорачивает R2. Найдите ток катушки i при t = 1 ms.
Vs = 15 VR1 = 33 ΩR2 = 10 ΩL = 47 mHt = 1 ms
i = A
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Последовательная цепь RLC подключена к сети 230 V (действующее значение), 1000 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).
V = 230 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF
φ = °
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательный RLC-контур питается от источника 2 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение VL на катушке.
V = 2 V (rms)R = 5 ΩL = 5 mHC = 0,47 µF
VL = V
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Однофазный двигатель потребляет 3 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном) от сети 240 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.
P = 3 kWpf = 0,6V = 240 V
Q = kvar
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазный трансформатор 150 kVA питает нагрузку 40 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?
Smax = 150 kVAP1 = 40 kWpf1 = 0,7
ΔP = kW
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная нагрузка, соединённая звездой, с полным сопротивлением 6 + j8 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 208 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 208 VZ = 6 + j8 Ω на фазу
P = kW
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 60 kW при коэффициенте мощности 0,7 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 60 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,92VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 10:1 приложено 1200 V. К вторичной обмотке подключён резистор 48 Ω. Найдите первичный ток I1.
N1:N2 = 10:1V1 = 1200 VRL = 48 Ω
I1 = A
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 500 kVA имеет потери в стали 2500 W и потери в меди 7500 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке Sη,max, в kVA, его КПД максимален?
S = 500 kVAPcore = 2500 WPcu,fl = 7500 W
Sη,max = kVA
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 0,7857 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 20 + 10 = 30 Ω
R2 ∥ 30 = 3·30/(3+30) = 2,727 Ω
Req = R1 + 2,727 = 10 + 2,727 = 12,73 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 10/12,73 = 0,7857 A
Ответ
IR1 = 0,7857 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: Req = 12,26 Ω
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 8 + 3 = 11 Ω
R4 ∥ 11 = 5,739 Ω
R3 + 5,739 = 10,74 Ω
R2 ∥ 10,74 = 6,258 Ω
Req = R1 + 6,258 = 6 + 6,258 = 12,26 Ω
Ответ
Req = 12,26 Ω
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: I2 = −0,7143 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Примите нижний провод за землю. Каждая ветвь проводит ток (VA − Vk)/Rk, вытекающий из A, где Vk — напряжение её источника (ноль для простого резистора). Сумма токов, вытекающих из A, равна нулю.
(VA − 24)/12 + (VA − 15)/15 + (VA − 30)/5 = 0
Находим VA
VA = (24/12 + 15/15 + 30/5) / (1/12 + 1/15 + 1/5) = 9/0,35 = 25,71 V
Ток ветви
Стрелка направлена вверх по ветви, в узел A.
I2 = (15 − VA)/R2 = (15 − 25,71)/15 = −0,7143 A
Ответ
I2 = −0,7143 A
Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: VB = −0,7703 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 9 V, V2 = 18 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/4 + (VA − 9)/20 + (VA − VB)/6 = 0
0,4667·VA − 0,1667·VB = 0,45
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/4 + (VB − VA)/6 + (VB − 18)/12 = (−2)
−0,1667·VA + 0,5·VB = −0,5
Решите
Δ = (0,4667)(0,5) − (−0,1667)(−0,1667) = 0,2056
VA = Δ1/Δ = 0,1417/0,2056 = 0,6892 V
VB = Δ2/Δ = −0,1583/0,2056 = −0,7703 V
Ответ
VB = −0,7703 V
5.Тевенин и Нортон
Ответ: Vth = 4,5 V
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 2·6/(2+6) = 1,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,5 + 12 = 13,5 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·6/(2+6) = 4,5 V
6.Тевенин и Нортон
Ответ: Vth = 180 V
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 6·15/(6+15) = 4,286 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4,286 + 25 = 29,29 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4,286 + 6·4,286 = 30 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 30 + 6·25 = 180 V
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 1,566 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени
τ = L/R = 68 mH / 100 Ω = 0,68 ms
Выразите время
0,25 = 2,5·e−t/τ → t = τ·ln(2,5/0,25)
t = 0,68·ln(10) = 1,566 ms
Ответ
t = 1,566 ms
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: i = 0,4022 A
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
До t = 0 в контур входят оба резистора; после этого замкнутый ключ шунтирует R₂.
i(0) = 15/(33 + 10) = 0,3488 A
i(∞) = 15/33 = 0,4545 A
τ = L/R = 47/33 = 1,424 ms
i(t) = 0,4545 + (0,3488 − 0,4545)·e−t/τ
Ток в заданный момент
i(1) = 0,4545 + (−0,1057)·e−1/1,424 = 0,4022 A
Ответ
i = 0,4022 A
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: φ = 86,22 °
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0,15 = 942,5 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·4,7·10⁻⁶) = 33,86 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Резонанс
При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·0,47·10⁻⁶) = 20628 rad/s
I = V/R = 2/5 = 0,4 A
Напряжение на катушке
XL = ω₀L = 20628·0,005 = 103,1 Ω
VL = I·XL = 0,4·103,1 = 41,26 V
Ответ
VL = 41,26 V
Это в Q = 20,63 раз больше напряжения источника.
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Q = 4 kvar
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Угол
φ = arccos(0,6) = 53,13°, tan φ = 1,333
Реактивная мощность
Q = P·tan φ = 3·1,333 = 4 kvar
Ответ
Q = 4 kvar
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: ΔP = 104,3 kW
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность существующей нагрузки
Q1 = 40·tan(arccos 0,7) = 40,81 kvar
Наибольшая суммарная активная мощность
При полной нагрузке S = Smax, а Q от активной нагрузки не меняется.
P = √(Smax² − Q1²) = √(150² − 40,81²) = 144,3 kW
Дополнительная активная мощность
ΔP = 144,3 − 40 = 104,3 kW
Ответ
ΔP = 104,3 kW
13.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 2,596 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Фазное напряжение
Vph = 208/√3 = 120,1 V
Фазный ток
|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω
Iph = 120,1/10 = 12,01 A
Полная активная мощность
Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.
P = 3·Iph²·R = 3·12,01²·6 = 2,596 kW
Ответ
P = 2,596 kW
Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,6, и √3·VL·IL·cos φ даёт ту же мощность.
14.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 549,1 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 60·tan(acos 0,7) = 60·1,02 = 61,21 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0,92) = 60·0,426 = 25,56 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 35,65 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Вторичные напряжение и ток
V2 = 1200/10 = 120 V
I2 = 120/48 = 2,5 A
Первичный ток
Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.
I1 = I2/10 = 0,25 A
Ответ
I1 = 0,25 A
Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·RL = 4800 Ω, и 1200/4800 даёт тот же ток.
16.Трансформаторы
Ответ: Sη,max = 288,7 kVA
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.