Основы электротехники: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Метод узловых потенциалов

Закон токов Кирхгофа
ΣIin = ΣIout
Ток ветви
I = (Va − Vb)/R
Опорный узел
Vground = 0

Метод

  1. Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
  2. Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
  3. Выразите ток каждой ветви как (Va − Vb)/R.
  4. Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина
Vth = Vopen circuit
Сопротивление Тевенина
Rth: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона
IN = Vth/Rth
Ток нагрузки
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальной мощности
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
  2. Найдите напряжение холостого хода между a и b: это Vth.
  3. Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это Rth.
  4. Верните нагрузку в эквивалентную схему: Vth последовательно с Rth.
  5. Для эквивалента Нортона преобразуйте: IN = Vth/Rth, с RN = Rth параллельно.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации
a = N1/N2 = V1/V2
Отношение токов
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номинальный ток
I = S/V
Приведённое сопротивление
Z1′ = a²·ZL
Потери в меди при неполной нагрузке
Pcu = x²·Pcu,fl
КПД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальный КПД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2Тренировочные задачи

1.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 4 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​20 ΩAR4​10 ΩB

Найдите эквивалентное сопротивление Req, которое видит источник V1.

V1 = 6 VR1 = 4 ΩR2 = 20 ΩR3 = 12 ΩR4 = 10 Ω
Req = Ω
2.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 4 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAR4​20 ΩBR6​2 Ω

Найдите эквивалентное сопротивление Req, которое видит источник V1.

V1 = 9 VR1 = 4 ΩR2 = 6 ΩR3 = 4 ΩR4 = 20 ΩR5 = 5 ΩR6 = 2 Ω
Req = Ω
3.Метод узловых потенциаловСредняя
−+Vs​ = 9 VIs​2 AAR1​2 ΩR2​8 ΩB

Вывод + источника напряжения Vₛ между A и B находится у B, поэтому он задаёт VB − VA = Vₛ. Методом узловых потенциалов с супер-узлом найдите узловое напряжение VB (относительно земли).

Is = 2 AVs = 9 VR1 = 2 ΩR2 = 8 Ω
VB = V
4.Метод узловых потенциаловСложная
R1​ = 6 ΩIR1​R2​ = 30 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​15 VR3​25 ΩAR5​3 ΩBIs​4 A+−V2​15 V

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти ток IR1 через R1 в направлении стрелки.

V1 = 15 VIs = 4 AV2 = 15 VR1 = 6 ΩR2 = 30 ΩR3 = 25 ΩR4 = 20 ΩR5 = 3 Ω
IR1 = A
5.Тевенин и НортонСредняя
R1​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​12 ΩAab

Найдите ток Нортона IN: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.

V1 = 15 VR1 = 12 ΩR2 = 12 ΩR3 = 15 Ω
IN = A
6.Тевенин и НортонСложная
R1​ = 25 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAIs​5 ABab

Найдите напряжение Тевенина Vth со стороны зажимов a–b.

V1 = 15 VIs = 5 AR1 = 25 ΩR2 = 20 ΩR3 = 2 Ω
Vth = V
7.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​6 Vt = 0R = 22 ΩL150 mHi(t)

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 15 ms.

Vs = 6 VR = 22 ΩL = 150 mHt = 15 ms
i = A
8.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​12 Vt = 0R = 6,8 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 20 V

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 20 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 300 ms.

Vs = 12 VR = 6,8 kΩC = 68 µFvC(0) = 20 Vt = 300 ms
vC = V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Vf0​ = 200 HzRL = ?C = 1 µF

Последовательный RLC-контур с C = 1 µF должен резонировать на частоте 200 Hz. Найдите необходимую индуктивность L.

f0 = 200 HzC = 1 µF
L = mH
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
100 V500 HzR1​ = 30 ΩR2​ = 50 ΩC = 4,7 µF

Резистор R1 включён последовательно с параллельным соединением R2 и конденсатора C в сеть 100 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR1 = 30 ΩR2 = 50 ΩC = 4,7 µF
|Z| = Ω
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
P = 1 kWQSφ

Однофазный двигатель потребляет 1 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) от сети 240 V. Найдите ток линии I.

P = 1 kWpf = 0,75V = 240 V
I = A
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
P = 50 kWQ1​S1​φ1​QC​

Однофазная нагрузка потребляет 50 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 400 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,92. Найдите новый ток линии Inew.

P = 50 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,92V = 400 Vf = 60 Hz
Inew = A
13.Трёхфазная мощностьСредняя
ABCVL​ = 690 VIL​ = ?M110 kW, η = 91%cos φ = 0,86

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 110 kW. При этой нагрузке его КПД равен 91%, а коэффициент мощности 0,86 (отстающий). Линейное напряжение сети 690 V. Найдите линейный ток IL.

Pout = 110 kWη = 91%cos φ = 0,86VL = 690 V
IL = A
14.Трёхфазная мощностьСложная
P = 100 kWφ1​S1​Q2​QC​

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 100 kW при коэффициенте мощности 0,78 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,98 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.

P = 100 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,98VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
RL​ = 6 Ω511200 VV2​I1​ = ?I2​

К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 5:1 приложено 1200 V. К вторичной обмотке подключён резистор 6 Ω. Найдите первичный ток I1.

N1:N2 = 5:1V1 = 1200 VRL = 6 Ω
I1 = A
16.ТрансформаторыСложная
250 kVA

Однофазный трансформатор 250 kVA имеет потери в стали 1000 W и потери в меди 2500 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке Sη,max, в kVA, его КПД максимален?

S = 250 kVAPcore = 1000 WPcu,fl = 2500 W
Sη,max = kVA

3Растворы

1.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: Req = 14,48 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 4 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​20 ΩAR4​10 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 12 + 10 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 20·22/(20+22) = 10,48 Ω
Req = R1 + 10,48 = 4 + 10,48 = 14,48 Ω

Ответ

Req = 14,48 Ω
2.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: Req = 7,629 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 4 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAR4​20 ΩBR6​2 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 5 + 2 = 7 Ω
R4 ∥ 7 = 5,185 Ω
R3 + 5,185 = 9,185 Ω
R2 ∥ 9,185 = 3,629 Ω
Req = R1 + 3,629 = 4 + 3,629 = 7,629 Ω

Ответ

Req = 7,629 Ω
3.Метод узловых потенциалов

Ответ: VB = 10,4 V

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

Образуем супер-узел

Через источник напряжения между A и B течёт неизвестный ток, поэтому ЗТК нельзя записать отдельно для A или B. Объедините A, B и источник в один супер-узел: втекающий в него ток равен вытекающему.

VB = VA + Vs = VA + 9
VA/R1 + VB/R2 = Is

Решите

VA/2 + (VA + 9)/8 = 2
VA = (2 − 9/8)/(1/2 + 1/8) = 1,4 V
VB = 1,4 + 9 = 10,4 V

Ответ

VB = 10,4 V
4.Метод узловых потенциалов

Ответ: IR1 = 0,4775 A

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

R1​ = 6 ΩR2​ = 30 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​15 VR3​25 ΩAR5​3 ΩBIs​4 A+−V2​15 V

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 15 V, V2 = 15 V). Неизвестные: VA, VB.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/25 + (VA − 15)/6 + (VA − VB)/30 = 0
0,24·VA − 0,03333·VB = 2,5

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/3 + (VB − VA)/30 + (VB − 15)/20 = 4
−0,03333·VA + 0,4167·VB = 4,75

Решите

Δ = (0,24)(0,4167) − (−0,03333)(−0,03333) = 0,09889
VA = Δ1/Δ = 1,2/0,09889 = 12,13 V
VB = Δ2/Δ = 1,223/0,09889 = 12,37 V

Ответ

IR1 = (V1 − VA)/R1 = (15 − 12,13)/6 = 0,4775 A
5.Тевенин и Нортон

Ответ: IN = 0,3571 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 12 ΩR3​ = 15 ΩКЗR2​12 ΩAabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 12·12/(12+12) = 6 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6 + 15 = 21 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​12 ΩAab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·12/(12+12) = 7,5 V
IN​0,3571 ARth​21 Ωab

Эквивалент Нортона

Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.

IN = Vth/Rth = 7,5/21 = 0,3571 A
6.Тевенин и Нортон

Ответ: Vth = 72,22 V

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 25 ΩR3​ = 2 ΩКЗR2​20 ΩAОБРЫВBabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 25·20/(25+20) = 11,11 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 11,11 + 2 = 13,11 Ω
R1​ = 25 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 6,667 + 5·11,11 = 62,22 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 62,22 + 5·2 = 72,22 V
7.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,2425 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 150 mH / 22 Ω = 6,818 ms
i(∞) = Vs/R = 6/22 = 0,2727 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,2727·(1 − e−15/6,818) = 0,2425 A

Ответ

i = 0,2425 A
8.Переходные процессы RC и RL

Ответ: vC = 16,18 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

vC(0) = 20 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 6,8 kΩ · 68 µF = 462,4 ms
vC(t) = 12 + (20 − 12)·e−t/τ

Напряжение в заданный момент

vC(300) = 12 + (8)·e−300/462,4 = 16,18 V

Ответ

vC = 16,18 V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: L = 633,3 mH

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(1257²·1·10⁻⁶) = 633,3 mH

Ответ

L = 633,3 mH
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: |Z| = 66,78 Ω

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

XC = 1/(2π·500·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Параллельное соединение

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Zp на действительную и мнимую части.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 32,36 − j23,89 Ω

Полное сопротивление цепи

Z = 30 + 32,36 − j23,89 = 62,36 − j23,89 Ω
|Z| = √(62,36² + 23,89²) = 66,78 Ω

Ответ

|Z| = 66,78 Ω
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 5,556 A

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Ток линии

Работу совершает только активная часть мощности, поэтому разделите на коэффициент мощности.

I = P/(V·cos φ) = 1000/(240·0,75) = 5,556 A

Ответ

I = 5,556 A
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Inew = 135,9 A

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q1 = P·tan φ1 = 50·tan(49,46°) = 58,46 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 50·tan(23,07°) = 21,3 kvar
QC = Q1 − Q2 = 37,16 kvar

Новый ток линии

Inew = P/(V·cos φ2) = 50000/(400·0,92) = 135,9 A

Ответ

Inew = 135,9 A
13.Трёхфазная мощность

Ответ: IL = 117,6 A

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Потребляемая электрическая мощность

Pin = Pout/η = 110/0,91 = 120,9 kW

Ток линии

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 120879/(√3·690·0,86) = 117,6 A

Ответ

IL = 117,6 A
14.Трёхфазная мощность

Ответ: Cph = 689,9 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q1 = 100·tan(acos 0,78) = 100·0,8023 = 80,23 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,98) = 100·0,2031 = 20,31 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

QC = Q1 − Q2 = 59,92 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 19974/(377·277,1²) = 689,9 µF

Ответ

Cph = 689,9 µF
15.Трансформаторы

Ответ: I1 = 8 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Вторичные напряжение и ток

V2 = 1200/5 = 240 V
I2 = 240/6 = 40 A

Первичный ток

Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I1 = I2/5 = 8 A

Ответ

I1 = 8 A

Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·RL = 150 Ω, и 1200/150 даёт тот же ток.

16.Трансформаторы

Ответ: Sη,max = 158,1 kVA

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди равны потерям в стали

x²·2500 = 1000 → x = √(1000/2500) = 0,6325

Нагрузка при максимальном КПД

Sη,max = x·S = 0,6325·250 = 158,1 kVA

Ответ

Sη,max = 158,1 kVA

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals