Между узлом A и землёй включены три ветви, как показано на схеме. Методом узловых потенциалов найдите ток I1 в ветви 1, текущий вверх в узел A по направлению стрелки.
Ромб — это источник тока, управляемый напряжением, который направляет ток 0,25·VA (в A при VA в V) вверх в узел B. Методом узловых потенциалов найдите узловое напряжение VB (относительно земли).
Через катушку течёт установившийся ток 3 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. За какое время ток уменьшится до 0,3 A? Найдите t.
i(0) = 3 AR = 100 ΩL = 220 mH
t = ms
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 4 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 20 ms.
Vs = 15 VR = 1 kΩC = 22 µFvC(0) = 4 Vt = 20 ms
vC = V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение тока I.
V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩL = 150 mHC = 1 µF
I = A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 1000 Hz. Найдите действующее значение напряжения VC на конденсаторе.
V = 50 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 47 µF
VC = V
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Однофазный двигатель потребляет 17 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) от сети 240 V. Найдите ток линии I.
P = 17 kWpf = 0,75V = 240 V
I = A
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 14 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) от сети 230 V, 60 Hz. Параллельно нагрузке подключён конденсатор 100 µF. Найдите новый ток линии I.
P = 14 kWpf1 = 0,75V = 230 Vf = 60 HzC = 100 µF
I = A
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 37 kW. При этой нагрузке его КПД равен 90%, а коэффициент мощности 0,84 (отстающий). Линейное напряжение сети 415 V. Найдите линейный ток IL.
Pout = 37 kWη = 90%cos φ = 0,84VL = 415 V
IL = A
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 120 kW при коэффициенте мощности 0,75 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность QC, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.
P = 120 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,92VL = 415 Vf = 50 Hz
QC = kvar
15.ТрансформаторыСредняя
Однофазный трансформатор 500 kVA, 4800/240 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток IHV в обмотке высшего напряжения.
S = 500 kVAV1 = 4800 VV2 = 240 V
IHV = A
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 100 kVA имеет потери в стали 600 W и потери в меди 2400 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке Sη,max, в kVA, его КПД максимален?
S = 100 kVAPcore = 600 WPcu,fl = 2400 W
Sη,max = kVA
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 0,7698 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 4 + 15 = 19 Ω
R2 ∥ 19 = 15·19/(15+19) = 8,382 Ω
Req = R1 + 8,382 = 15 + 8,382 = 23,38 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 18/23,38 = 0,7698 A
Ответ
IR1 = 0,7698 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 0,4298 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 10 + 20 = 30 Ω
R4 ∥ 30 = 10 Ω
R3 + 10 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 4,105 Ω
Req = R1 + 4,105 = 15 + 4,105 = 19,11 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 12/19,11 = 0,6281 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 0,6281·15 = 2,579 V
IR2 = VA/R2 = 2,579/6 = 0,4298 A
Ответ
IR2 = 0,4298 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: I1 = 0,975 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Примите нижний провод за землю. Каждая ветвь проводит ток (VA − Vk)/Rk, вытекающий из A, где Vk — напряжение её источника (ноль для простого резистора). Сумма токов, вытекающих из A, равна нулю.
(VA − 18)/12 + (VA − 6)/5 + (VA − (−12))/20 = 0
Находим VA
VA = (18/12 + 6/5 + (−12)/20) / (1/12 + 1/5 + 1/20) = 2,1/0,3333 = 6,3 V
Ток ветви
Стрелка направлена вверх по ветви, в узел A.
I1 = (18 − VA)/R1 = (18 − 6,3)/12 = 0,975 A
Ответ
I1 = 0,975 A
Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: VB = 6,316 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники направляют в A.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0,25·VA − 0,05·VB = 1
ЗТК в узле B
Зависимый источник направляет ток g·VA в узел B. Рассматривайте его как независимый источник, а затем перенесите член с VA в левую часть.
(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0,25·VA
−0,3·VA + 0,25·VB = 0
Решите
Δ = (0,25)(0,25) − (−0,05)(−0,3) = 0,0475
VA = Δ1/Δ = 0,25/0,0475 = 5,263 V
VB = Δ2/Δ = 0,3/0,0475 = 6,316 V
Ответ
VB = 6,316 V
5.Тевенин и Нортон
Ответ: IN = 1,333 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 6·12/(6+12) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 2 = 6 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·12/(6+12) = 8 V
Эквивалент Нортона
Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.
IN = Vth/Rth = 8/6 = 1,333 A
6.Тевенин и Нортон
Ответ: IL = −0,4231 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 10·5/(10+5) = 3,333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,333 + 10 = 13,33 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1,667 + (−1,5)·3,333 = −3,333 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −3,333 + (−1,5)·10 = −18,33 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = −18,33/(13,33 + 30) = −0,4231 A
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 5,066 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени
τ = L/R = 220 mH / 100 Ω = 2,2 ms
Выразите время
0,3 = 3·e−t/τ → t = τ·ln(3/0,3)
t = 2,2·ln(10) = 5,066 ms
Ответ
t = 5,066 ms
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: vC = 10,57 V
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.
vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 1 kΩ · 22 µF = 22 ms
vC(t) = 15 + (4 − 15)·e−t/τ
Напряжение в заданный момент
vC(20) = 15 + (−11)·e−20/22 = 10,57 V
Ответ
vC = 10,57 V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: I = 0,7809 A
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,15 = 471,2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318,3 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.
I = V/|Z| = 120/153,7 = 0,7809 A
Ответ
I = 0,7809 A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: VC = 0,1799 V
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0,15 = 942,5 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·47·10⁻⁶) = 3,386 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.
I = V/|Z| = 50/941 = 0,05313 A
Напряжение на конденсаторе
VC = I·XC = 0,05313·3,386 = 0,1799 V
Ответ
VC = 0,1799 V
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: I = 94,44 A
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Ток линии
Работу совершает только активная часть мощности, поэтому разделите на коэффициент мощности.
I = P/(V·cos φ) = 17000/(240·0,75) = 94,44 A
Ответ
I = 94,44 A
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: I = 75,7 A
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = 14·tan(arccos 0,75) = 12,35 kvar
QC = V²·2πf·C = 230²·2π·60·100·10⁻⁶ = 1994 var = 1,994 kvar
Q2 = 12,35 − 1,994 = 10,35 kvar
Новая полная мощность
S2 = √(14² + 10,35²) = 17,41 kVA
Новый ток линии
I = S2/V = 17412/230 = 75,7 A
Ответ
I = 75,7 A
13.Трёхфазная мощность
Ответ: IL = 68,09 A
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Потребляемая электрическая мощность
Pin = Pout/η = 37/0,9 = 41,11 kW
Ток линии
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 41111/(√3·415·0,84) = 68,09 A
Ответ
IL = 68,09 A
14.Трёхфазная мощность
Ответ: QC = 54,71 kvar
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 120·tan(acos 0,75) = 120·0,8819 = 105,8 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0,92) = 120·0,426 = 51,12 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 54,71 kvar
Ответ
QC = 54,71 kvar
15.Трансформаторы
Ответ: IHV = 104,2 A
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Номинальный ток
Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.
IHV = S/V = 500000/4800 = 104,2 A
Ответ
IHV = 104,2 A
16.Трансформаторы
Ответ: Sη,max = 50 kVA
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.