Между узлом A и землёй включены три ветви, как показано на схеме. Методом узловых потенциалов найдите ток I3 в ветви 3, текущий вверх в узел A по направлению стрелки.
V1 = 6 VR1 = 3 ΩV2 = 12 VR2 = 4 ΩR3 = 2 Ω
I3 = A
4.Метод узловых потенциаловСложная
Ромб — это источник тока, управляемый напряжением, который направляет ток 0,1·VA (в A при VA в V) вверх в узел B. Методом узловых потенциалов найдите узловое напряжение VA (относительно земли).
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение vL на катушке в момент t = 10 ms.
Vs = 9 VR = 33 ΩL = 150 mHt = 10 ms
vL = V
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Ключ, шунтирующий R2, был разомкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ замыкается и закорачивает R2. Найдите ток катушки i при t = 5 ms.
Vs = 10 VR1 = 15 ΩR2 = 15 ΩL = 100 mHt = 5 ms
i = A
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите действующее значение тока I.
V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF
I = A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательный RLC-контур имеет R = 10 Ω, L = 100 mH и C = 0,047 µF. Найдите его полосу пропускания B (ширину полосы между частотами половинной мощности) в Hz.
R = 10 ΩL = 100 mHC = 0,047 µF
B = Hz
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Индуктивная нагрузка потребляет 13 A и 1092 W от однофазной сети 120 V (действующее значение). Представьте её как сопротивление R, соединённое последовательно с реактивным сопротивлением X. Найдите R.
V = 120 VI = 13 AP = 1092 W
R = Ω
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 30 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 230 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,95. Найдите новый ток линии Inew.
P = 30 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,95V = 230 Vf = 60 Hz
Inew = A
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная нагрузка, соединённая треугольником, с полным сопротивлением 18 + j24 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 208 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 208 VZ = 18 + j24 Ω на фазу
P = kW
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 60 kW при коэффициенте мощности 0,65 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 60 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,95VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
Усилитель с выходным сопротивлением 200 Ω питает громкоговоритель 8 Ω через идеальный трансформатор. Для передачи максимальной мощности громкоговоритель должен выглядеть со стороны усилителя как 200 Ω. Найдите коэффициент трансформации a = N₁/N₂.
Rs = 200 ΩRL = 8 Ω
a =
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 150 kVA имеет потери в стали 600 W и потери в меди 900 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке Sη,max, в kVA, его КПД максимален?
S = 150 kVAPcore = 600 WPcu,fl = 900 W
Sη,max = kVA
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 1,304 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 10 + 8 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 3·18/(3+18) = 2,571 Ω
Req = R1 + 2,571 = 4 + 2,571 = 6,571 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 10/6,571 = 1,522 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 1,522·4 = 3,913 V
IR2 = VA/R2 = 3,913/3 = 1,304 A
Ответ
IR2 = 1,304 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 2,639 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 8 + 30 = 38 Ω
R4 ∥ 38 = 3,619 Ω
R3 + 3,619 = 13,62 Ω
R2 ∥ 13,62 = 9,367 Ω
Req = R1 + 9,367 = 2 + 9,367 = 11,37 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 30/11,37 = 2,639 A
Ответ
IR1 = 2,639 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: I3 = −2,308 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Примите нижний провод за землю. Каждая ветвь проводит ток (VA − Vk)/Rk, вытекающий из A, где Vk — напряжение её источника (ноль для простого резистора). Сумма токов, вытекающих из A, равна нулю.
(VA − 6)/3 + (VA − 12)/4 + VA/2 = 0
Находим VA
VA = (6/3 + 12/4 + 0/2) / (1/3 + 1/4 + 1/2) = 5/1,083 = 4,615 V
Ток ветви
Стрелка направлена вверх по ветви, в узел A.
I3 = (0 − VA)/R3 = (0 − 4,615)/2 = −2,308 A
Ответ
I3 = −2,308 A
Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: VA = 28,42 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники направляют в A.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0,7667·VA − 0,5·VB = 6
ЗТК в узле B
Зависимый источник направляет ток g·VA в узел B. Рассматривайте его как независимый источник, а затем перенесите член с VA в левую часть.
(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0,1·VA
−0,6·VA + 0,54·VB = 0
Решите
Δ = (0,7667)(0,54) − (−0,5)(−0,6) = 0,114
VA = Δ1/Δ = 3,24/0,114 = 28,42 V
VB = Δ2/Δ = 3,6/0,114 = 31,58 V
Ответ
VA = 28,42 V
5.Тевенин и Нортон
Ответ: IN = 0,3396 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 2·3/(2+3) = 1,2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,2 + 20 = 21,2 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·3/(2+3) = 7,2 V
Эквивалент Нортона
Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.
IN = Vth/Rth = 7,2/21,2 = 0,3396 A
6.Тевенин и Нортон
Ответ: IL = 2,795 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 12·3/(12+3) = 2,4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,4 + 12 = 14,4 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1,8 + 5·2,4 = 13,8 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 13,8 + 5·12 = 73,8 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 73,8/(14,4 + 12) = 2,795 A
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: vL = 0,9972 V
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 150 mH / 33 Ω = 4,545 ms
i(∞) = Vs/R = 9/33 = 0,2727 A
Напряжение на катушке
В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 9·e−10/4,545 = 0,9972 V
Ответ
vL = 0,9972 V
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: i = 0,5092 A
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
До t = 0 в контур входят оба резистора; после этого замкнутый ключ шунтирует R₂.
i(0) = 10/(15 + 15) = 0,3333 A
i(∞) = 10/15 = 0,6667 A
τ = L/R = 100/15 = 6,667 ms
i(t) = 0,6667 + (0,3333 − 0,6667)·e−t/τ
Ток в заданный момент
i(5) = 0,6667 + (−0,3333)·e−5/6,667 = 0,5092 A
Ответ
i = 0,5092 A
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: I = 0,491 A
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,15 = 188,5 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.
I = V/|Z| = 50/101,8 = 0,491 A
Ответ
I = 0,491 A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: B = 15,92 Hz
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Резонансная частота
f0 = 1/(2π·√(0,1·0,047·10⁻⁶)) = 2322 Hz
Добротность
Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: R = 6,462 Ω
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Сопротивление по активной мощности
R = P/I² = 1092/13² = 6,462 Ω
Ответ
R = 6,462 Ω
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Inew = 137,3 A
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = P·tan φ1 = 30·tan(49,46°) = 35,07 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 30·tan(18,19°) = 9,861 kvar
QC = Q1 − Q2 = 25,21 kvar
Новый ток линии
Inew = P/(V·cos φ2) = 30000/(230·0,95) = 137,3 A
Ответ
Inew = 137,3 A
13.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 2,596 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Фазное напряжение
Vph = VL = 208 V
Фазный ток
|Z| = √(18² + 24²) = 30 Ω
Iph = 208/30 = 6,933 A
Полная активная мощность
Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.
P = 3·Iph²·R = 3·6,933²·18 = 2,596 kW
Ответ
P = 2,596 kW
Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,6, и √3·VL·IL·cos φ даёт ту же мощность.
14.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 278,7 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 60·tan(acos 0,65) = 60·1,169 = 70,15 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0,95) = 60·0,3287 = 19,72 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 50,43 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.
V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 16809/(377·400²) = 278,7 µF
Ответ
Cph = 278,7 µF
15.Трансформаторы
Ответ: a = 5
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Согласуйте приведённую нагрузку
a²·8 = 200
a = √(200/8) = √25 = 5
Ответ
a = 5
16.Трансформаторы
Ответ: Sη,max = 122,5 kVA
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.