Между узлом A и землёй включены три ветви, как показано на схеме. Методом узловых потенциалов найдите ток I3 в ветви 3, текущий вверх в узел A по направлению стрелки.
Найдите сопротивление Тевенина Rth со стороны зажимов a–b.
V1 = 24 VR1 = 5 ΩR2 = 10 ΩR3 = 4 Ω
Rth = Ω
6.Тевенин и НортонСложная
Найдите напряжение Тевенина Vth со стороны зажимов a–b.
V1 = 15 VIs = 1,5 AR1 = 30 ΩR2 = 12 ΩR3 = 5 Ω
Vth = V
7.Переходные процессы RC и RLСредняя
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 1 ms, в mJ.
Vs = 5 VR = 33 ΩL = 10 mHt = 1 ms
W = mJ
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Ключ, шунтирующий R2, был замкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ размыкается. Найдите ток катушки i при t = 1 ms.
Vs = 9 VR1 = 47 ΩR2 = 10 ΩL = 47 mHt = 1 ms
i = A
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите активную мощность P, потребляемую от источника.
V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 10 µF
P = W
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Резистор R1 включён последовательно с параллельным соединением R2 и конденсатора C в сеть 24 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.
V = 24 V (rms)f = 200 HzR1 = 25 ΩR2 = 20 ΩC = 47 µF
|Z| = Ω
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Индуктивная нагрузка потребляет 14,5 A и 2436 W от однофазной сети 240 V (действующее значение). Представьте её как сопротивление R, соединённое последовательно с реактивным сопротивлением X. Найдите X.
V = 240 VI = 14,5 AP = 2436 W
X = Ω
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 40 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 230 V, 50 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,92. Найдите необходимую ёмкость C.
P = 40 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,92V = 230 Vf = 50 Hz
C = µF
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 100 A от сети с линейным напряжением 480 V. Коэффициент мощности 0,7 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 480 VIL = 100 Acos φ = 0,7
P = kW
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 50 kW при коэффициенте мощности 0,78 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность QC, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.
P = 50 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,95VL = 480 Vf = 60 Hz
QC = kvar
15.ТрансформаторыСредняя
К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 10:1 приложено 2300 V. К вторичной обмотке подключён резистор 60 Ω. Найдите первичный ток I1.
N1:N2 = 10:1V1 = 2300 VRL = 60 Ω
I1 = A
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 200 kVA имеет потери в стали 800 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,8 (отстающий) его КПД равен 99%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке Pcu,fl в ваттах.
S = 200 kVAPcore = 800 Wpf = 0,8η = 99%
Pcu,fl = W
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 0,2566 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 5 + 8 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 12·13/(12+13) = 6,24 Ω
Req = R1 + 6,24 = 12 + 6,24 = 18,24 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 9/18,24 = 0,4934 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0,4934·12 = 3,079 V
IR2 = VA/R2 = 3,079/12 = 0,2566 A
Ответ
IR2 = 0,2566 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 0,2143 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 20 + 20 = 40 Ω
R4 ∥ 40 = 8 Ω
R3 + 8 = 20 Ω
R2 ∥ 20 = 11,11 Ω
Req = R1 + 11,11 = 20 + 11,11 = 31,11 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 15/31,11 = 0,4821 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 0,4821·20 = 5,357 V
IR2 = VA/R2 = 5,357/25 = 0,2143 A
Ответ
IR2 = 0,2143 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: I3 = 1,136 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Примите нижний провод за землю. Каждая ветвь проводит ток (VA − Vk)/Rk, вытекающий из A, где Vk — напряжение её источника (ноль для простого резистора). Сумма токов, вытекающих из A, равна нулю.
(VA − (−12))/6 + (VA − 9)/2 + (VA − 10)/4 = 0
Находим VA
VA = ((−12)/6 + 9/2 + 10/4) / (1/6 + 1/2 + 1/4) = 5/0,9167 = 5,455 V
Ток ветви
Стрелка направлена вверх по ветви, в узел A.
I3 = (10 − VA)/R3 = (10 − 5,455)/4 = 1,136 A
Ответ
I3 = 1,136 A
Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: IR2 = −0,2423 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 36 V, V2 = 12 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/4 + (VA − 36)/20 + (VA − VB)/12 = 0
0,3833·VA − 0,08333·VB = 1,8
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 5·10/(5+10) = 3,333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,333 + 4 = 7,333 Ω
6.Тевенин и Нортон
Ответ: Vth = 24,64 V
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 30·12/(30+12) = 8,571 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 8,571 + 5 = 13,57 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4,286 + 1,5·8,571 = 17,14 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 17,14 + 1,5·5 = 24,64 V
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: W = 0,1065 mJ
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 10 mH / 33 Ω = 0,303 ms
i(∞) = Vs/R = 5/33 = 0,1515 A
Ток в заданный момент
i(t) = 0,1515·(1 − e−1/0,303) = 0,1459 A
Запасённая энергия
W = ½·L·i² = ½·10·0,1459² = 0,1065 mJ
Ответ
W = 0,1065 mJ
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: i = 0,1679 A
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
До t = 0 замкнутый ключ шунтирует R₂; после этого в контур входят и R₁, и R₂.
i(0) = 9/47 = 0,1915 A
i(∞) = 9/(47 + 10) = 0,1579 A
τ = L/R = 47/57 = 0,8246 ms
i(t) = 0,1579 + (0,1915 − 0,1579)·e−t/τ
Ток в заданный момент
i(1) = 0,1579 + (0,03359)·e−1/0,8246 = 0,1679 A
Ответ
i = 0,1679 A
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: P = 4,331 W
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
XL = 12,57 Ω, XC = 159,2 Ω
Полное сопротивление
|Z| = √(40² + (−146,6)²) = 151,9 Ω
Активная мощность
Катушки и конденсаторы только запасают и возвращают энергию; всю активную мощность потребляет резистор.
I = 50/151,9 = 0,3291 A
P = I²·R = 0,3291²·40 = 4,331 W
Ответ
P = 4,331 W
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: |Z| = 34,78 Ω
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивное сопротивление
XC = 1/(2π·200·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω
Параллельное соединение
Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Zp на действительную и мнимую части.
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: X = 11,82 Ω
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Сопротивление по активной мощности
R = P/I² = 2436/14,5² = 11,59 Ω
Реактивное сопротивление по полному
|Z| = V/I = 240/14,5 = 16,55 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(16,55² − 11,59²) = 11,82 Ω
Ответ
X = 11,82 Ω
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: C = 779,8 µF
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = P·tan φ1 = 40·tan(36,87°) = 30 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 40·tan(23,07°) = 17,04 kvar
QC = Q1 − Q2 = 12,96 kvar
Ёмкость
Конденсатор, подключённый к сети, поставляет Q = V²·ωC.
C = QC/(2πf·V²) = 12960/(2π·50·230²) = 779,8 µF
Ответ
C = 779,8 µF
13.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 58,2 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Полная мощность
S = √3·VL·IL = √3·480·100 = 83,14 kVA
Активная мощность
P = S·cos φ = 83,14·0,7 = 58,2 kW
Ответ
P = 58,2 kW
14.Трёхфазная мощность
Ответ: QC = 23,68 kvar
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 50·tan(acos 0,78) = 50·0,8023 = 40,11 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0,95) = 50·0,3287 = 16,43 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 23,68 kvar
Ответ
QC = 23,68 kvar
15.Трансформаторы
Ответ: I1 = 0,3833 A
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Вторичные напряжение и ток
V2 = 2300/10 = 230 V
I2 = 230/60 = 3,833 A
Первичный ток
Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.
I1 = I2/10 = 0,3833 A
Ответ
I1 = 0,3833 A
Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·RL = 6000 Ω, и 2300/6000 даёт тот же ток.
16.Трансформаторы
Ответ: Pcu,fl = 816,2 W
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.