Вывод + источника напряжения Vₛ между A и B находится у B, поэтому он задаёт VB − VA = Vₛ. Методом узловых потенциалов с супер-узлом найдите ток Ix через источник напряжения от A к B, как показано стрелкой.
Is = 2,5 AVs = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 8 Ω
Ix = A
4.Метод узловых потенциаловСложная
Вывод + источника напряжения Vₛ между A и B находится у B, поэтому он задаёт VB − VA = Vₛ. Методом узловых потенциалов с супер-узлом найдите ток Ix через источник напряжения от A к B, как показано стрелкой.
Найдите ток Нортона IN: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.
V1 = 12 VR1 = 8 ΩR2 = 3 ΩR3 = 8 Ω
IN = A
6.Тевенин и НортонСложная
Найдите напряжение Тевенина Vth со стороны зажимов a–b.
V1 = 12 VIs = 6 AR1 = 6 ΩR2 = 30 ΩR3 = 4 Ω
Vth = V
7.Переходные процессы RC и RLСредняя
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 80 ms, в mJ.
Vs = 24 VR = 5 ΩL = 150 mHt = 80 ms
W = mJ
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 5 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 4 V, ровно через 100 ms после старта. При C = 2,2 µF найдите необходимое сопротивление R.
Vs = 5 VVth = 4 VT = 100 msC = 2,2 µF
R = kΩ
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите коэффициент мощности cos φ цепи.
V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 100 µF
cos φ =
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите действующее значение напряжения VC на конденсаторе.
V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 200 mHC = 100 µF
VC = V
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Нагрузка с полным сопротивлением Z = 12 + j5 Ω подключена к однофазной сети 230 V (действующее значение). Найдите полную мощность S.
V = 230 VZ = 12 + j5 Ω
S = VA
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазный трансформатор 200 kVA питает нагрузку 131 kW при коэффициенте мощности 0,85 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?
Smax = 200 kVAP1 = 131 kWpf1 = 0,85
ΔP = kW
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 40 A от сети с линейным напряжением 690 V. Коэффициент мощности 0,92 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 690 VIL = 40 Acos φ = 0,92
P = kW
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 80 kW при коэффициенте мощности 0,75 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность QC, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.
P = 80 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,92VL = 415 Vf = 50 Hz
QC = kvar
15.ТрансформаторыСредняя
Однофазный трансформатор 250 kVA, 480/240 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток IHV в обмотке высшего напряжения.
S = 250 kVAV1 = 480 VV2 = 240 V
IHV = A
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 50 kVA имеет потери в стали 400 W и потери в меди 600 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке Sη,max, в kVA, его КПД максимален?
S = 50 kVAPcore = 400 WPcu,fl = 600 W
Sη,max = kVA
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 0,1892 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 15 + 6 = 21 Ω
R2 ∥ 21 = 6·21/(6+21) = 4,667 Ω
Req = R1 + 4,667 = 20 + 4,667 = 24,67 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 6/24,67 = 0,2432 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0,2432·20 = 1,135 V
IR2 = VA/R2 = 1,135/6 = 0,1892 A
Ответ
IR2 = 0,1892 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 1,561 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 20 + 8 = 28 Ω
R4 ∥ 28 = 9,767 Ω
R3 + 9,767 = 19,77 Ω
R2 ∥ 19,77 = 3,327 Ω
Req = R1 + 3,327 = 2 + 3,327 = 5,327 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 10/5,327 = 1,877 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 1,877·2 = 6,245 V
IR2 = VA/R2 = 6,245/4 = 1,561 A
Ответ
IR2 = 1,561 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: Ix = 1,944 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Образуем супер-узел
Через источник напряжения между A и B течёт неизвестный ток, поэтому ЗТК нельзя записать отдельно для A или B. Объедините A, B и источник в один супер-узел: втекающий в него ток равен вытекающему.
VB = VA + Vs = VA + 10
VA/R1 + VB/R2 = Is
Решите
VA/10 + (VA + 10)/8 = 2,5
VA = (2,5 − 10/8)/(1/10 + 1/8) = 5,556 V
VB = 5,556 + 10 = 15,56 V
Ток через источник напряжения
Всё, что проходит через источник от A к B, уходит из узла B через R₂.
Ix = VB/R2 = 15,56/8 = 1,944 A
Ответ
Ix = 1,944 A
Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: Ix = −3,686 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Образуем супер-узел
Через источник напряжения между A и B течёт неизвестный ток, поэтому ЗТК нельзя записать отдельно для A или B. Объедините A, B и источник в один супер-узел: втекающий в него ток равен вытекающему.
VB = VA + 12
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + VB/R3 = Is
Решите
(VA − 30)/6 + VA/4 + (VA + 12)/25 = 5
VA·(1/6 + 1/4 + 1/25) = 5 + 30/6 − 12/25 = 9,52
VA = 9,52/0,4567 = 20,85 V
VB = 32,85 V
Ток через источник напряжения
ЗТК только для узла A: ток, приходящий через R₁, уходит через R₂ и через источник напряжения.
IR1 = (30 − 20,85)/6 = 1,526 A
Ix = IR1 − VA/R2 = 1,526 − 20,85/4 = −3,686 A
Ответ
Ix = −3,686 A
Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.
5.Тевенин и Нортон
Ответ: IN = 0,3214 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 8·3/(8+3) = 2,182 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,182 + 8 = 10,18 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·3/(8+3) = 3,273 V
Эквивалент Нортона
Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.
IN = Vth/Rth = 3,273/10,18 = 0,3214 A
6.Тевенин и Нортон
Ответ: Vth = 64 V
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 6·30/(6+30) = 5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5 + 4 = 9 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 10 + 6·5 = 40 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 40 + 6·4 = 64 V
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: W = 1496 mJ
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 150 mH / 5 Ω = 30 ms
i(∞) = Vs/R = 24/5 = 4,8 A
Ток в заданный момент
i(t) = 4,8·(1 − e−80/30) = 4,466 A
Запасённая энергия
W = ½·L·i² = ½·150·4,466² = 1496 mJ
Ответ
W = 1496 mJ
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: R = 28,24 kΩ
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Требуемая постоянная времени
4 = 5·(1 − e−100/τ) → τ = 100/ln(5/(5 − 4))
τ = 100/1,609 = 62,13 ms
Сопротивление
kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.
R = τ/C = 62,13/2,2 = 28,24 kΩ
Ответ
R = 28,24 kΩ
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: cos φ = 0,2394
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
XL = 251,3 Ω, XC = 7,958 Ω
Полное сопротивление
|Z| = √(60² + (243,4)²) = 250,7 Ω
Коэффициент мощности
cos φ = R/|Z| = 60/250,7 = 0,2394
Цепь индуктивная, поэтому коэффициент мощности отстающий.
Ответ
cos φ = 0,2394
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: VC = 51,89 V
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.
I = V/|Z| = 100/51,12 = 1,956 A
Напряжение на конденсаторе
VC = I·XC = 1,956·26,53 = 51,89 V
Ответ
VC = 51,89 V
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: S = 4069 VA
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Ток
|Z| = √(12² + 5²) = 13 Ω
I = V/|Z| = 230/13 = 17,69 A
Полная мощность
S = V·I = 230·17,69 = 4069 VA
Ответ
S = 4069 VA
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: ΔP = 51,78 kW
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность существующей нагрузки
Q1 = 131·tan(arccos 0,85) = 81,19 kvar
Наибольшая суммарная активная мощность
При полной нагрузке S = Smax, а Q от активной нагрузки не меняется.
P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 81,19²) = 182,8 kW
Дополнительная активная мощность
ΔP = 182,8 − 131 = 51,78 kW
Ответ
ΔP = 51,78 kW
13.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 43,98 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Полная мощность
S = √3·VL·IL = √3·690·40 = 47,8 kVA
Активная мощность
P = S·cos φ = 47,8·0,92 = 43,98 kW
Ответ
P = 43,98 kW
14.Трёхфазная мощность
Ответ: QC = 36,47 kvar
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 80·tan(acos 0,75) = 80·0,8819 = 70,55 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0,92) = 80·0,426 = 34,08 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 36,47 kvar
Ответ
QC = 36,47 kvar
15.Трансформаторы
Ответ: IHV = 520,8 A
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Номинальный ток
Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.
IHV = S/V = 250000/480 = 520,8 A
Ответ
IHV = 520,8 A
16.Трансформаторы
Ответ: Sη,max = 40,82 kVA
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.