Источник тока регулируют до тех пор, пока напряжение узла A не станет VA = 7 V. Методом узловых потенциалов найдите ток источника Is (направление как на схеме).
V1 = 9 VR1 = 5 ΩR2 = 30 ΩR3 = 4 ΩR4 = 2 ΩVA = 7 V
Is = A
5.Тевенин и НортонСредняя
Найдите ток Нортона IN: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.
V1 = 15 VR1 = 5 ΩR2 = 4 ΩR3 = 2 Ω
IN = A
6.Тевенин и НортонСложная
Найдите напряжение Тевенина Vth со стороны зажимов a–b.
V1 = 15 VIs = 3 AR1 = 15 ΩR2 = 15 ΩR3 = 30 Ω
Vth = V
7.Переходные процессы RC и RLСредняя
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 10 ms, в mJ.
Vs = 5 VR = 33 ΩL = 150 mHt = 10 ms
W = mJ
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 4 V с указанной полярностью. Через какое время vC достигнет 4,6 V? Найдите t.
Vs = 5 VR = 4,7 kΩC = 33 µFvC(0) = 4 V
t = ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Резистор и катушка включены параллельно в сеть 24 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите действующее значение тока I.
V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 100 mH
I = A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение тока I.
V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 1 µF
I = A
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Однофазный двигатель потребляет 5 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) от сети 400 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.
P = 5 kWpf = 0,7V = 400 V
Q = kvar
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазный трансформатор 150 kVA питает нагрузку 40 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?
Smax = 150 kVAP1 = 40 kWpf1 = 0,65
ΔP = kW
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 100 A от сети с линейным напряжением 400 V. Коэффициент мощности 0,85 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 400 VIL = 100 Acos φ = 0,85
P = kW
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 50 kW при коэффициенте мощности 0,75 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,98 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 50 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,98VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
Усилитель с выходным сопротивлением 72 Ω питает громкоговоритель 8 Ω через идеальный трансформатор. Для передачи максимальной мощности громкоговоритель должен выглядеть со стороны усилителя как 72 Ω. Найдите коэффициент трансформации a = N₁/N₂.
Rs = 72 ΩRL = 8 Ω
a =
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 75 kVA имеет потери в стали 300 W и потери в меди 1200 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке Sη,max, в kVA, его КПД максимален?
S = 75 kVAPcore = 300 WPcu,fl = 1200 W
Sη,max = kVA
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 0,5094 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 3 + 6 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 12·9/(12+9) = 5,143 Ω
Req = R1 + 5,143 = 10 + 5,143 = 15,14 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 18/15,14 = 1,189 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 1,189·10 = 6,113 V
IR2 = VA/R2 = 6,113/12 = 0,5094 A
Ответ
IR2 = 0,5094 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 1,781 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 20 + 30 = 50 Ω
R4 ∥ 50 = 1,923 Ω
R3 + 1,923 = 6,923 Ω
R2 ∥ 6,923 = 5,422 Ω
Req = R1 + 5,422 = 3 + 5,422 = 8,422 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 15/8,422 = 1,781 A
Ответ
IR1 = 1,781 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: VB = 21,59 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 30 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/3 + (VA − 30)/6 + (VA − VB)/15 = 0
0,5667·VA − 0,06667·VB = 5
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
VA известно, поэтому это уравнение даёт VB.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(7 − 9)/5 + 7/30 = (VB − 7)/4
−0,1667 = (VB − 7)/4 → VB = 6,333 V
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники направляют в B.
Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (6,333 − 7)/4 + 6,333/2 = 3 A
Ответ
Is = 3 A
5.Тевенин и Нортон
Ответ: IN = 1,579 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 5·4/(5+4) = 2,222 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,222 + 2 = 4,222 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·4/(5+4) = 6,667 V
Эквивалент Нортона
Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.
IN = Vth/Rth = 6,667/4,222 = 1,579 A
6.Тевенин и Нортон
Ответ: Vth = 120 V
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 15·15/(15+15) = 7,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7,5 + 30 = 37,5 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 7,5 + 3·7,5 = 30 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 30 + 3·30 = 120 V
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: W = 1,361 mJ
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 150 mH / 33 Ω = 4,545 ms
i(∞) = Vs/R = 5/33 = 0,1515 A
Ток в заданный момент
i(t) = 0,1515·(1 − e−10/4,545) = 0,1347 A
Запасённая энергия
W = ½·L·i² = ½·150·0,1347² = 1,361 mJ
Ответ
W = 1,361 mJ
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 142,1 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.
t = τ·ln((4 − 5)/(4,6 − 5)) = 155,1·ln(2,5) = 142,1 ms
Ответ
t = 142,1 ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: I = 0,7973 A
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивное сопротивление
XL = ωL = 2π·60·0,1 = 37,7 Ω
Токи ветвей
Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.
IR = V/R = 24/50 = 0,48 A
IX = V/XL = 24/37,7 = 0,6366 A
Общий ток
Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.
I = √(IR² + IX²) = √(0,48² + 0,6366²) = 0,7973 A
Ответ
I = 0,7973 A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: I = 0,1995 A
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318,3 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.
I = V/|Z| = 12/60,14 = 0,1995 A
Ответ
I = 0,1995 A
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Q = 5,101 kvar
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Угол
φ = arccos(0,7) = 45,57°, tan φ = 1,02
Реактивная мощность
Q = P·tan φ = 5·1,02 = 5,101 kvar
Ответ
Q = 5,101 kvar
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: ΔP = 102,5 kW
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность существующей нагрузки
Q1 = 40·tan(arccos 0,65) = 46,77 kvar
Наибольшая суммарная активная мощность
При полной нагрузке S = Smax, а Q от активной нагрузки не меняется.
P = √(Smax² − Q1²) = √(150² − 46,77²) = 142,5 kW
Дополнительная активная мощность
ΔP = 142,5 − 40 = 102,5 kW
Ответ
ΔP = 102,5 kW
13.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 58,89 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Полная мощность
S = √3·VL·IL = √3·400·100 = 69,28 kVA
Активная мощность
P = S·cos φ = 69,28·0,85 = 58,89 kW
Ответ
P = 58,89 kW
14.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 562,7 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 50·tan(acos 0,75) = 50·0,8819 = 44,1 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0,98) = 50·0,2031 = 10,15 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 33,94 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Согласуйте приведённую нагрузку
a²·8 = 72
a = √(72/8) = √9 = 3
Ответ
a = 3
16.Трансформаторы
Ответ: Sη,max = 37,5 kVA
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.