Между узлом A и землёй включены три ветви, как показано на схеме. Методом узловых потенциалов найдите ток I3 в ветви 3, текущий вверх в узел A по направлению стрелки.
Источник тока регулируют до тех пор, пока напряжение узла A не станет VA = 7,5 V. Методом узловых потенциалов найдите ток источника Is (направление как на схеме).
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 5 ms, в mJ.
Vs = 20 VR = 15 ΩL = 220 mHt = 5 ms
W = mJ
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 4 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 400 ms.
Vs = 5 VR = 4,7 kΩC = 220 µFvC(0) = 4 Vt = 400 ms
vC = V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите активную мощность P, потребляемую от источника.
V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF
P = W
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 1000 Hz. Найдите действующее значение напряжения VC на конденсаторе.
V = 50 V (rms)f = 1000 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 10 µF
VC = V
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Однофазный двигатель потребляет 31 kW при коэффициенте мощности 0,85 (индуктивном) от сети 240 V. Найдите ток линии I.
P = 31 kWpf = 0,85V = 240 V
I = A
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазный трансформатор 200 kVA питает нагрузку 84 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?
Smax = 200 kVAP1 = 84 kWpf1 = 0,75
ΔP = kW
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 40 A от сети с линейным напряжением 400 V. Коэффициент мощности 0,9 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 400 VIL = 40 Acos φ = 0,9
P = kW
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 250 kW при коэффициенте мощности 0,78 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 250 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,92VL = 480 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
Усилитель с выходным сопротивлением 64 Ω питает громкоговоритель 4 Ω через идеальный трансформатор. Для передачи максимальной мощности громкоговоритель должен выглядеть со стороны усилителя как 64 Ω. Найдите коэффициент трансформации a = N₁/N₂.
Rs = 64 ΩRL = 4 Ω
a =
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 200 kVA имеет потери в стали 600 W и потери в меди 1500 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 25% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,8 (отстающий). Найдите суммарные потери Ploss в ваттах при этой нагрузке.
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 4 + 2 = 6 Ω
R2 ∥ 6 = 15·6/(15+6) = 4,286 Ω
Req = R1 + 4,286 = 5 + 4,286 = 9,286 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 24/9,286 = 2,585 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 2,585·5 = 11,08 V
IR2 = VA/R2 = 11,08/15 = 0,7385 A
Ответ
IR2 = 0,7385 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 0,6424 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 6 + 25 = 31 Ω
R4 ∥ 31 = 7,561 Ω
R3 + 7,561 = 12,56 Ω
R2 ∥ 12,56 = 5,568 Ω
Req = R1 + 5,568 = 10 + 5,568 = 15,57 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 10/15,57 = 0,6424 A
Ответ
IR1 = 0,6424 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: I3 = −0,1207 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Примите нижний провод за землю. Каждая ветвь проводит ток (VA − Vk)/Rk, вытекающий из A, где Vk — напряжение её источника (ноль для простого резистора). Сумма токов, вытекающих из A, равна нулю.
(VA − 12)/3 + (VA − 15)/10 + (VA − 10)/20 = 0
Находим VA
VA = (12/3 + 15/10 + 10/20) / (1/3 + 1/10 + 1/20) = 6/0,4833 = 12,41 V
Ток ветви
Стрелка направлена вверх по ветви, в узел A.
I3 = (10 − VA)/R3 = (10 − 12,41)/20 = −0,1207 A
Ответ
I3 = −0,1207 A
Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: Is = 1,62 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
VA известно, поэтому это уравнение даёт VB.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(7,5 − 5)/25 + 7,5/12 = (VB − 7,5)/2
0,725 = (VB − 7,5)/2 → VB = 8,95 V
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники направляют в B.
Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (8,95 − 7,5)/2 + 8,95/10 = 1,62 A
Ответ
Is = 1,62 A
5.Тевенин и Нортон
Ответ: Rth = 4,714 Ω
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 12·2/(12+2) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 3 = 4,714 Ω
6.Тевенин и Нортон
Ответ: PL = 20 W
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 20·4/(20+4) = 3,333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,333 + 15 = 18,33 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1,667 + 2·3,333 = 8,333 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 8,333 + 2·15 = 38,33 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 38,33/(18,33 + 20) = 1 A
PL = IL²·RL = 1²·20 = 20 W
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: W = 16,32 mJ
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 220 mH / 15 Ω = 14,67 ms
i(∞) = Vs/R = 20/15 = 1,333 A
Ток в заданный момент
i(t) = 1,333·(1 − e−5/14,67) = 0,3852 A
Запасённая энергия
W = ½·L·i² = ½·220·0,3852² = 16,32 mJ
Ответ
W = 16,32 mJ
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: vC = 4,321 V
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.
vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 4,7 kΩ · 220 µF = 1034 ms
vC(t) = 5 + (4 − 5)·e−t/τ
Напряжение в заданный момент
vC(400) = 5 + (−1)·e−400/1034 = 4,321 V
Ответ
vC = 4,321 V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: P = 2,855 W
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
XL = 47,12 Ω, XC = 677,3 Ω
Полное сопротивление
|Z| = √(80² + (−630,1)²) = 635,2 Ω
Активная мощность
Катушки и конденсаторы только запасают и возвращают энергию; всю активную мощность потребляет резистор.
I = 120/635,2 = 0,1889 A
P = I²·R = 0,1889²·80 = 2,855 W
Ответ
P = 2,855 W
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: VC = 2,577 V
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0,05 = 314,2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·10·10⁻⁶) = 15,92 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.
I = V/|Z| = 50/308,8 = 0,1619 A
Напряжение на конденсаторе
VC = I·XC = 0,1619·15,92 = 2,577 V
Ответ
VC = 2,577 V
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: I = 152 A
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Ток линии
Работу совершает только активная часть мощности, поэтому разделите на коэффициент мощности.
I = P/(V·cos φ) = 31000/(240·0,85) = 152 A
Ответ
I = 152 A
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: ΔP = 101,8 kW
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность существующей нагрузки
Q1 = 84·tan(arccos 0,75) = 74,08 kvar
Наибольшая суммарная активная мощность
При полной нагрузке S = Smax, а Q от активной нагрузки не меняется.
P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 74,08²) = 185,8 kW
Дополнительная активная мощность
ΔP = 185,8 − 84 = 101,8 kW
Ответ
ΔP = 101,8 kW
13.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 24,94 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Полная мощность
S = √3·VL·IL = √3·400·40 = 27,71 kVA
Активная мощность
P = S·cos φ = 27,71·0,9 = 24,94 kW
Ответ
P = 24,94 kW
14.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 433,2 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 250·tan(acos 0,78) = 250·0,8023 = 200,6 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0,92) = 250·0,426 = 106,5 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 94,07 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Согласуйте приведённую нагрузку
a²·4 = 64
a = √(64/4) = √16 = 4
Ответ
a = 4
16.Трансформаторы
Ответ: Ploss = 693,8 W
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.