Между узлом A и землёй включены три ветви, как показано на схеме. Методом узловых потенциалов найдите ток I1 в ветви 1, текущий вверх в узел A по направлению стрелки.
Найдите напряжение Тевенина Vth со стороны зажимов a–b.
V1 = 18 VR1 = 4 ΩR2 = 12 ΩR3 = 12 Ω
Vth = V
6.Тевенин и НортонСложная
Найдите ток Нортона IN: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.
V1 = 30 VIs = 3 AR1 = 8 ΩR2 = 3 ΩR3 = 3 Ω
IN = A
7.Переходные процессы RC и RLСредняя
Через катушку течёт установившийся ток 0,5 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. За какое время ток уменьшится до 0,05 A? Найдите t.
i(0) = 0,5 AR = 68 ΩL = 22 mH
t = ms
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 18 V с указанной полярностью. Через какое время vC достигнет 15,6 V? Найдите t.
Vs = 12 VR = 1 kΩC = 47 µFvC(0) = 18 V
t = ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Резистор и катушка включены параллельно в сеть 100 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение тока I.
V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 50 mH
I = A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите резонансную частоту f0 цепи.
V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF
f0 = Hz
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Однофазный двигатель потребляет 29 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) от сети 240 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.
P = 29 kWpf = 0,75V = 240 V
Q = kvar
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 10 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) от сети 240 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,95. Найдите новый ток линии Inew.
P = 10 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,95V = 240 Vf = 60 Hz
Inew = A
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 18,5 kW. При этой нагрузке его КПД равен 94%, а коэффициент мощности 0,86 (отстающий). Линейное напряжение сети 400 V. Найдите линейный ток IL.
Pout = 18,5 kWη = 94%cos φ = 0,86VL = 400 V
IL = A
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 300 kW при коэффициенте мощности 0,72 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 300 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,9VL = 480 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
Усилитель с выходным сопротивлением 128 Ω питает громкоговоритель 8 Ω через идеальный трансформатор. Для передачи максимальной мощности громкоговоритель должен выглядеть со стороны усилителя как 128 Ω. Найдите коэффициент трансформации a = N₁/N₂.
Rs = 128 ΩRL = 8 Ω
a =
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 100 kVA имеет потери в стали 600 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,9 (отстающий) его КПД равен 96,5%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке Pcu,fl в ваттах.
S = 100 kVAPcore = 600 Wpf = 0,9η = 96,5%
Pcu,fl = W
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 1,255 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 12 + 20 = 32 Ω
R2 ∥ 32 = 6·32/(6+32) = 5,053 Ω
Req = R1 + 5,053 = 3 + 5,053 = 8,053 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 12/8,053 = 1,49 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 1,49·3 = 7,529 V
IR2 = VA/R2 = 7,529/6 = 1,255 A
Ответ
IR2 = 1,255 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: Req = 26,87 Ω
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 15 + 5 = 20 Ω
R4 ∥ 20 = 4 Ω
R3 + 4 = 29 Ω
R2 ∥ 29 = 1,871 Ω
Req = R1 + 1,871 = 25 + 1,871 = 26,87 Ω
Ответ
Req = 26,87 Ω
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: I1 = −0,1047 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Примите нижний провод за землю. Каждая ветвь проводит ток (VA − Vk)/Rk, вытекающий из A, где Vk — напряжение её источника (ноль для простого резистора). Сумма токов, вытекающих из A, равна нулю.
(VA − 15)/8 + (VA − 18)/6 + (VA − 12)/15 = 0
Находим VA
VA = (15/8 + 18/6 + 12/15) / (1/8 + 1/6 + 1/15) = 5,675/0,3583 = 15,84 V
Ток ветви
Стрелка направлена вверх по ветви, в узел A.
I1 = (15 − VA)/R1 = (15 − 15,84)/8 = −0,1047 A
Ответ
I1 = −0,1047 A
Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: VA = 6,857 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 24 V, V2 = 18 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/2 + (VA − 24)/5 + (VA − VB)/5 = 0
0,9·VA − 0,2·VB = 4,8
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/8 + (VB − VA)/5 + (VB − 18)/6 = (−1)
−0,2·VA + 0,4917·VB = 2
Решите
Δ = (0,9)(0,4917) − (−0,2)(−0,2) = 0,4025
VA = Δ1/Δ = 2,76/0,4025 = 6,857 V
VB = Δ2/Δ = 2,76/0,4025 = 6,857 V
Ответ
VA = 6,857 V
5.Тевенин и Нортон
Ответ: Vth = 13,5 V
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 4·12/(4+12) = 3 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3 + 12 = 15 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·12/(4+12) = 13,5 V
6.Тевенин и Нортон
Ответ: IN = −1,421 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 8·3/(8+3) = 2,182 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,182 + 3 = 5,182 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 8,182 + (−3)·2,182 = 1,636 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 1,636 + (−3)·3 = −7,364 V
Эквивалент Нортона
Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.
IN = Vth/Rth = −7,364/5,182 = −1,421 A
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 0,745 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени
τ = L/R = 22 mH / 68 Ω = 0,3235 ms
Выразите время
0,05 = 0,5·e−t/τ → t = τ·ln(0,5/0,05)
t = 0,3235·ln(10) = 0,745 ms
Ответ
t = 0,745 ms
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 24,01 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.
t = τ·ln((18 − 12)/(15,6 − 12)) = 47·ln(1,667) = 24,01 ms
Ответ
t = 24,01 ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: I = 2,58 A
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивное сопротивление
XL = ωL = 2π·500·0,05 = 157,1 Ω
Токи ветвей
Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.
IR = V/R = 100/40 = 2,5 A
IX = V/XL = 100/157,1 = 0,6366 A
Общий ток
Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.
I = √(IR² + IX²) = √(2,5² + 0,6366²) = 2,58 A
Ответ
I = 2,58 A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: f0 = 164,2 Hz
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Резонанс
При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC). Частота сети не важна.
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Q = 25,58 kvar
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Угол
φ = arccos(0,75) = 41,41°, tan φ = 0,8819
Реактивная мощность
Q = P·tan φ = 29·0,8819 = 25,58 kvar
Ответ
Q = 25,58 kvar
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Inew = 43,86 A
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = P·tan φ1 = 10·tan(45,57°) = 10,2 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 10·tan(18,19°) = 3,287 kvar
QC = Q1 − Q2 = 6,915 kvar
Новый ток линии
Inew = P/(V·cos φ2) = 10000/(240·0,95) = 43,86 A
Ответ
Inew = 43,86 A
13.Трёхфазная мощность
Ответ: IL = 33,03 A
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Потребляемая электрическая мощность
Pin = Pout/η = 18,5/0,94 = 19,68 kW
Ток линии
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 19681/(√3·400·0,86) = 33,03 A
Ответ
IL = 33,03 A
14.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 1987 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 300·tan(acos 0,72) = 300·0,9639 = 289,2 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0,9) = 300·0,4843 = 145,3 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 143,9 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Согласуйте приведённую нагрузку
a²·8 = 128
a = √(128/8) = √16 = 4
Ответ
a = 4
16.Трансформаторы
Ответ: Pcu,fl = 2664 W
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.