Между узлом A и землёй включены три ветви, как показано на схеме. Методом узловых потенциалов найдите ток I1 в ветви 1, текущий вверх в узел A по направлению стрелки.
V1 = 6 VR1 = 4 ΩV2 = 15 VR2 = 10 ΩR3 = 8 Ω
I1 = A
4.Метод узловых потенциаловСложная
Ромб — это источник тока, управляемый напряжением, который направляет ток 0,2·VA (в A при VA в V) вверх в узел B. Методом узловых потенциалов найдите узловое напряжение VA (относительно земли).
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 1 ms.
Vs = 15 VR = 100 ΩL = 47 mHt = 1 ms
i = A
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Ключ, шунтирующий R2, был разомкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ замыкается и закорачивает R2. Найдите ток катушки i при t = 10 ms.
Vs = 6 VR1 = 20 ΩR2 = 15 ΩL = 68 mHt = 10 ms
i = A
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Последовательная цепь RLC подключена к сети 230 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите коэффициент мощности cos φ цепи.
V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩL = 20 mHC = 100 µF
cos φ =
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательный RLC-контур питается от источника 2 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение VL на катушке.
V = 2 V (rms)R = 5 ΩL = 100 mHC = 10 µF
VL = V
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
К однофазной сети 240 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 16 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) и нагрузка 2 kW при коэффициенте мощности 0,85 (индуктивном). Найдите общий коэффициент мощности cos φ со стороны сети.
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 40 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) от сети 240 V, 50 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,92. Найдите реактивную мощность QC, которую должен поставлять конденсатор.
P = 40 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,92V = 240 Vf = 50 Hz
QC = kvar
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 110 kW. При этой нагрузке его КПД равен 93%, а коэффициент мощности 0,82 (отстающий). Линейное напряжение сети 400 V. Найдите линейный ток IL.
Pout = 110 kWη = 93%cos φ = 0,82VL = 400 V
IL = A
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 60 kW при коэффициенте мощности 0,65 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 60 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,9VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 2:1 приложено 480 V. К вторичной обмотке подключён резистор 40 Ω. Найдите первичный ток I1.
N1:N2 = 2:1V1 = 480 VRL = 40 Ω
I1 = A
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 200 kVA имеет потери в стали 800 W и потери в меди 2400 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке Sη,max, в kVA, его КПД максимален?
S = 200 kVAPcore = 800 WPcu,fl = 2400 W
Sη,max = kVA
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: Req = 14,36 Ω
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 3 + 8 = 11 Ω
R2 ∥ 11 = 3·11/(3+11) = 2,357 Ω
Req = R1 + 2,357 = 12 + 2,357 = 14,36 Ω
Ответ
Req = 14,36 Ω
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: Req = 22,33 Ω
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 5 + 15 = 20 Ω
R4 ∥ 20 = 2,609 Ω
R3 + 2,609 = 5,609 Ω
R2 ∥ 5,609 = 2,335 Ω
Req = R1 + 2,335 = 20 + 2,335 = 22,33 Ω
Ответ
Req = 22,33 Ω
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: I1 = −0,07895 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Примите нижний провод за землю. Каждая ветвь проводит ток (VA − Vk)/Rk, вытекающий из A, где Vk — напряжение её источника (ноль для простого резистора). Сумма токов, вытекающих из A, равна нулю.
(VA − 6)/4 + (VA − 15)/10 + VA/8 = 0
Находим VA
VA = (6/4 + 15/10 + 0/8) / (1/4 + 1/10 + 1/8) = 3/0,475 = 6,316 V
Ток ветви
Стрелка направлена вверх по ветви, в узел A.
I1 = (6 − VA)/R1 = (6 − 6,316)/4 = −0,07895 A
Ответ
I1 = −0,07895 A
Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: VA = 10,74 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники направляют в A.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0,4417·VA − 0,125·VB = 2,25
ЗТК в узле B
Зависимый источник направляет ток g·VA в узел B. Рассматривайте его как независимый источник, а затем перенесите член с VA в левую часть.
(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0,2·VA
−0,325·VA + 0,175·VB = 0
Решите
Δ = (0,4417)(0,175) − (−0,125)(−0,325) = 0,03667
VA = Δ1/Δ = 0,3937/0,03667 = 10,74 V
VB = Δ2/Δ = 0,7313/0,03667 = 19,94 V
Ответ
VA = 10,74 V
5.Тевенин и Нортон
Ответ: IN = 0,5 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 6·3/(6+3) = 2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2 + 2 = 4 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·3/(6+3) = 2 V
Эквивалент Нортона
Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.
IN = Vth/Rth = 2/4 = 0,5 A
6.Тевенин и Нортон
Ответ: IL = 2,205 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 20·3/(20+3) = 2,609 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,609 + 5 = 7,609 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 0,7826 + 5·2,609 = 13,83 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 13,83 + 5·5 = 38,83 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 38,83/(7,609 + 10) = 2,205 A
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: i = 0,1321 A
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
До t = 0 в контур входят оба резистора; после этого замкнутый ключ шунтирует R₂.
i(0) = 6/(20 + 15) = 0,1714 A
i(∞) = 6/20 = 0,3 A
τ = L/R = 68/20 = 3,4 ms
i(t) = 0,3 + (0,1714 − 0,3)·e−t/τ
Ток в заданный момент
i(10) = 0,3 + (−0,1286)·e−10/3,4 = 0,2932 A
Ответ
i = 0,2932 A
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: cos φ = 0,3645
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
XL = 6,283 Ω, XC = 31,83 Ω
Полное сопротивление
|Z| = √(10² + (−25,55)²) = 27,44 Ω
Коэффициент мощности
cos φ = R/|Z| = 10/27,44 = 0,3645
Цепь ёмкостная, поэтому коэффициент мощности опережающий.
Ответ
cos φ = 0,3645
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: VL = 40 V
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Резонанс
При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·10·10⁻⁶) = 1000 rad/s
I = V/R = 2/5 = 0,4 A
Напряжение на катушке
XL = ω₀L = 1000·0,1 = 100 Ω
VL = I·XL = 0,4·100 = 40 V
Ответ
VL = 40 V
Это в Q = 20 раз больше напряжения источника.
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: cos φ = 0,7157
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность каждой нагрузки
Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).
Q1 = 16·tan(arccos 0,7) = 16,32 kvar
Q2 = 2·tan(arccos 0,85) = 1,239 kvar
Суммы
P = 16 + 2 = 18 kW
Q = 16,32 + 1,239 = 17,56 kvar
S = √(18² + 17,56²) = 25,15 kVA
Общий коэффициент мощности
cos φ = P/S = 18/25,15 = 0,7157 отстающий
Ответ
cos φ = 0,7157
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: QC = 18,24 kvar
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = P·tan φ1 = 40·tan(41,41°) = 35,28 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 40·tan(23,07°) = 17,04 kvar
QC = Q1 − Q2 = 18,24 kvar
Ответ
QC = 18,24 kvar
13.Трёхфазная мощность
Ответ: IL = 208,2 A
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Потребляемая электрическая мощность
Pin = Pout/η = 110/0,93 = 118,3 kW
Ток линии
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 118280/(√3·400·0,82) = 208,2 A
Ответ
IL = 208,2 A
14.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 227,1 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 60·tan(acos 0,65) = 60·1,169 = 70,15 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0,9) = 60·0,4843 = 29,06 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 41,09 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.
V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 13696/(377·400²) = 227,1 µF
Ответ
Cph = 227,1 µF
15.Трансформаторы
Ответ: I1 = 3 A
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Вторичные напряжение и ток
V2 = 480/2 = 240 V
I2 = 240/40 = 6 A
Первичный ток
Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.
I1 = I2/2 = 3 A
Ответ
I1 = 3 A
Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·RL = 160 Ω, и 480/160 даёт тот же ток.
16.Трансформаторы
Ответ: Sη,max = 115,5 kVA
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.