Вывод + источника напряжения Vₛ между A и B находится у B, поэтому он задаёт VB − VA = Vₛ. Методом узловых потенциалов с супер-узлом найдите ток Ix через источник напряжения от A к B, как показано стрелкой.
Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите постоянную времени τ цепи после замыкания ключа.
Vs = 9 VR1 = 10 kΩR2 = 4,7 kΩC = 100 µF
τ = ms
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 4 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 200 ms.
Vs = 6 VR = 10 kΩC = 33 µFvC(0) = 4 Vt = 200 ms
vC = V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Последовательная цепь RLC подключена к сети 24 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите коэффициент мощности cos φ цепи.
V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 100 µF
cos φ =
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение тока I.
V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 250 mHC = 10 µF
I = A
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Однофазный двигатель потребляет 4 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 400 V. Найдите ток линии I.
P = 4 kWpf = 0,8V = 400 V
I = A
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 15 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 230 V, 50 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,92. Найдите новый ток линии Inew.
P = 15 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,92V = 230 Vf = 50 Hz
Inew = A
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная нагрузка, соединённая треугольником, с полным сопротивлением 8 + j6 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 415 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 415 VZ = 8 + j6 Ω на фазу
P = kW
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 200 kW при коэффициенте мощности 0,75 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность QC, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.
P = 200 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,92VL = 480 Vf = 60 Hz
QC = kvar
15.ТрансформаторыСредняя
Однофазный трансформатор 10 kVA, 11000/400 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток ILV в обмотке низшего напряжения.
S = 10 kVAV1 = 11000 VV2 = 400 V
ILV = A
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 50 kVA имеет потери в стали 200 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,85 (отстающий) его КПД равен 96,5%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке Pcu,fl в ваттах.
S = 50 kVAPcore = 200 Wpf = 0,85η = 96,5%
Pcu,fl = W
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: Req = 8,059 Ω
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 10 + 3 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 4·13/(4+13) = 3,059 Ω
Req = R1 + 3,059 = 5 + 3,059 = 8,059 Ω
Ответ
Req = 8,059 Ω
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 0,2053 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 3 + 12 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 6 Ω
R3 + 6 = 26 Ω
R2 ∥ 26 = 11,3 Ω
Req = R1 + 11,3 = 30 + 11,3 = 41,3 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 15/41,3 = 0,3632 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 0,3632·30 = 4,105 V
IR2 = VA/R2 = 4,105/20 = 0,2053 A
Ответ
IR2 = 0,2053 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: VA = 5,707 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 9 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/3 + (VA − 9)/15 + (VA − VB)/6 = 0
0,5667·VA − 0,1667·VB = 0,6
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/12 + (VB − VA)/6 = 3
−0,1667·VA + 0,25·VB = 3
Решите
Δ = (0,5667)(0,25) − (−0,1667)(−0,1667) = 0,1139
VA = Δ1/Δ = 0,65/0,1139 = 5,707 V
VB = Δ2/Δ = 1,8/0,1139 = 15,8 V
Ответ
VA = 5,707 V
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: Ix = −0,2235 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Образуем супер-узел
Через источник напряжения между A и B течёт неизвестный ток, поэтому ЗТК нельзя записать отдельно для A или B. Объедините A, B и источник в один супер-узел: втекающий в него ток равен вытекающему.
ЗТК только для узла A: ток, приходящий через R₁, уходит через R₂ и через источник напряжения.
IR1 = (12 − 3,294)/20 = 0,4353 A
Ix = IR1 − VA/R2 = 0,4353 − 3,294/5 = −0,2235 A
Ответ
Ix = −0,2235 A
Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.
5.Тевенин и Нортон
Ответ: Vth = 9,474 V
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 4·15/(4+15) = 3,158 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,158 + 12 = 15,16 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·15/(4+15) = 9,474 V
6.Тевенин и Нортон
Ответ: IL = −1,004 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 3·5/(3+5) = 1,875 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,875 + 6 = 7,875 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3,75 + (−2,5)·1,875 = −0,9375 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −0,9375 + (−2,5)·6 = −15,94 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = −15,94/(7,875 + 8) = −1,004 A
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: τ = 319,7 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора
Закоротите источник, чтобы найти Rth; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.
Rth = R1 ∥ R2 = 10·4,7/(10 + 4,7) = 3,197 kΩ
vC(∞) = 9·4,7/(10 + 4,7) = 2,878 V
Постоянная времени
τ = Rth·C = 3,197·100 = 319,7 ms
Ответ
τ = 319,7 ms
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: vC = 4,909 V
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.
vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 10 kΩ · 33 µF = 330 ms
vC(t) = 6 + (4 − 6)·e−t/τ
Напряжение в заданный момент
vC(200) = 6 + (−2)·e−200/330 = 4,909 V
Ответ
vC = 4,909 V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: cos φ = 0,2089
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
XL = 471,2 Ω, XC = 3,183 Ω
Полное сопротивление
|Z| = √(100² + (468,1)²) = 478,6 Ω
Коэффициент мощности
cos φ = R/|Z| = 100/478,6 = 0,2089
Цепь индуктивная, поэтому коэффициент мощности отстающий.
Ответ
cos φ = 0,2089
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: I = 0,4163 A
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,25 = 78,54 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·10·10⁻⁶) = 318,3 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.
I = V/|Z| = 100/240,2 = 0,4163 A
Ответ
I = 0,4163 A
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: I = 12,5 A
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Ток линии
Работу совершает только активная часть мощности, поэтому разделите на коэффициент мощности.
I = P/(V·cos φ) = 4000/(400·0,8) = 12,5 A
Ответ
I = 12,5 A
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Inew = 70,89 A
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = P·tan φ1 = 15·tan(49,46°) = 17,54 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 15·tan(23,07°) = 6,39 kvar
QC = Q1 − Q2 = 11,15 kvar
Новый ток линии
Inew = P/(V·cos φ2) = 15000/(230·0,92) = 70,89 A
Ответ
Inew = 70,89 A
13.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 41,33 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Фазное напряжение
Vph = VL = 415 V
Фазный ток
|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω
Iph = 415/10 = 41,5 A
Полная активная мощность
Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.
P = 3·Iph²·R = 3·41,5²·8 = 41,33 kW
Ответ
P = 41,33 kW
Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,8, и √3·VL·IL·cos φ даёт ту же мощность.
14.Трёхфазная мощность
Ответ: QC = 91,18 kvar
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 200·tan(acos 0,75) = 200·0,8819 = 176,4 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0,92) = 200·0,426 = 85,2 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 91,18 kvar
Ответ
QC = 91,18 kvar
15.Трансформаторы
Ответ: ILV = 25 A
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Номинальный ток
Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.
ILV = S/V = 10000/400 = 25 A
Ответ
ILV = 25 A
16.Трансформаторы
Ответ: Pcu,fl = 1341 W
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.