Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

Стабилизатор на стабилитроне 3,3 V питается от 12 V через 100 Ω и питает нагрузку 470 Ω. Найдите ток стабилитрона I_Z.

V_in = 12 VV_Z = 3,3 VR = 100 ΩR_L = 470 Ω

I_Z = mA

2.Диоды и транзисторыСложная

Стабилизатор на стабилитроне 6,2 V должен питать нагрузку током до 30 mA. Входное напряжение может падать до 15 V, а стабилитрону для стабилизации нужно не менее 5 mA. Найдите наибольшее последовательное сопротивление R_max, при котором стабилизация сохраняется.

V_in,min = 15 VV_Z = 6,2 VI_L,max = 30 mAI_Z,min = 5 mA

R_max = Ω

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V_in = 0,5 VR_a = 4,7 kΩR_b = 4,7 kΩR₁ = 2 kΩR_f = 100 kΩ

V_out = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Отношения резисторов не согласованы. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = −0,7 VV₂ = 0,9 VR₁ = 2 kΩR₂ = 2 kΩR₃ = 1 kΩR₄ = 100 kΩ

V_out = V

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 95% конечного значения? Найдите t.

V_s = 9 VR = 68 ΩL = 100 mH

t = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 12 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 9,6 V, ровно через 10 ms после старта. При R = 100 kΩ найдите необходимую ёмкость C.

V_s = 12 VV_th = 9,6 VT = 10 msR = 100 kΩ

C = µF

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 8 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 25 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 15 Ω

R_eq = Ω

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный повышающий преобразователь преобразует 15 V в 50 V при 40 kHz и L = 220 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔI_L.

Vin = 15 VVo = 50 Vf = 40 kHzL = 220 µH

ΔI_L = A

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Идеальный понижающий преобразователь преобразует 15 V в 4,5 V при нагрузке 10 Ω и частоте 250 kHz. Найдите наименьшую индуктивность L_crit для режима непрерывного тока.

Vin = 15 VVo = 4,5 Vf = 250 kHzR = 10 Ω

L_crit = µH

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Гальванометр с сопротивлением 200 Ω включён между a и b показанного моста (V_s = 9 V). Найдите ток гальванометра I_g от a к b в µA.

V_s = 9 VR₁ = 1000 ΩR₂ = 80 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 200 ΩR_g = 200 Ω

I_g = µA

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Датчик силы (полный мост из тензорезисторов) имеет номинальный выход 3 mV/V при номинальной нагрузке 1000 kg. Напряжение питания — 10 V. Найдите его выход V_o при нагрузке 250 kg.

3 mV/VF_rated = 1000 kgV_s = 10 VF = 250 kg

V_o = mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

У мультиплексора 4 в 1 адресные входы S₁ = A и S₀ = B, а информационные входы подключены так: I₀ = C, I₁ = 1, I₂ = 0, I₃ = C′. Для скольких из 8 комбинаций A, B и C выход F = 1? Найдите N.

I₀ = CI₁ = 1I₂ = 0I₃ = C′

N =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Синхронный счётчик по модулю 9 считает 0, 1, …, 8, а затем возвращается к 0. Он начинает с 5. Какое значение Q (в десятичном виде) он покажет после 11 тактовых импульсов?

Q₀ = 511N = 9

Q =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: I_Z = 79,98 mA

Стабилизатор на стабилитроне: стабилитрон, включённый в обратном направлении, удерживает напряжение V_Z, пока его ток остаётся выше минимума I_Z,min. Последовательный резистор R берёт на себя разность между входным и выходным напряжением: I_R = (V_in − V_Z)/R. Этот ток делится между нагрузкой, I_L = V_Z/R_L, и стабилитроном: I_Z = I_R − I_L. Проектируйте для худших случаев: при наименьшем входном напряжении и наибольшей нагрузке должен оставаться ток I_Z,min, а при наибольшем входном напряжении без нагрузки получается наибольшая мощность стабилитрона P_Z = V_Z·I_Z.

Ток резистора

I_R = 8,7/100 = 87 mA

Ток нагрузки

I_L = 3,3/470 = 7,021 mA

Ток стабилитрона

I_Z = 87 − 7,021 = 79,98 mA

Ответ

I_Z = 79,98 mA

2.Диоды и транзисторы

Ответ: R_max = 251,4 Ω

Ток в худшем случае

I_R = 30 + 5 = 35 mA

Наибольшее сопротивление

R_max = 8,8/0,035 = 251,4 Ω

Ответ

R_max = 251,4 Ω

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 12,75 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Напряжение на входе +

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 0,5·4,7/(4,7 + 4,7) = 0,25 V

Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя

V₋ = V₊, и ток через R₁ течёт также через R_f.

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 0,25·(1 + 100/2) = 12,75 V

Ответ

V_out = 12,75 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 2,482 V

Напряжение на входе +

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 0,9·100/(1 + 100) = 0,8911 V

Наложение двух входов

При V₂ = 0 для V₁ схема — инвертирующий усилитель. При V₁ = 0 V₊ усиливается с коэффициентом неинвертирующего усилителя 1 + R₂/R₁.

V_out = −(2/2)·(−0,7) + (1 + 2/2)·0,8911 = 0,7 + 1,782 = 2,482 V

Ответ

V_out = 2,482 V

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 4,405 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 100 mH / 68 Ω = 1,471 ms

i(∞) = V_s/R = 9/68 = 0,1324 A

Выразите время

0,95 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,95)

t = −1,471·ln(0,05) = 4,405 ms

Ответ

t = 4,405 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: C = 0,06213 µF

Требуемая постоянная времени

9,6 = 12·(1 − e^−10/τ) → τ = 10/ln(12/(12 − 9,6))

τ = 10/1,609 = 6,213 ms

Ёмкость

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

C = τ/R = 6,213/100 = 0,06213 µF

Ответ

C = 0,06213 µF

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 17,23 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 20 + 4 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 15·24/(15+24) = 9,231 Ω

R_eq = R₁ + 9,231 = 8 + 9,231 = 17,23 Ω

Ответ

R_eq = 17,23 Ω

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 32,89 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 15 + 15 = 30 Ω

R₄ ∥ 30 = 13,64 Ω

R₃ + 13,64 = 16,64 Ω

R₂ ∥ 16,64 = 7,888 Ω

R_eq = R₁ + 7,888 = 25 + 7,888 = 32,89 Ω

Ответ

R_eq = 32,89 Ω

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔI_L = 1,193 A

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 1 − 15/50 = 0,7

Напряжение на катушке во время включения

Пока S включён, катушка индуктивности находится непосредственно под напряжением V_in.

V_L = 15 V

Пульсации тока

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 15·0,7/(220·10⁻⁶·40·10³) = 1,193 A

Ответ

ΔI_L = 1,193 A

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: L_crit = 14 µH

Коэффициент заполнения

D = 4,5/15 = 0,3

Граничное условие

Приравняйте средний ток катушки к половине пульсаций тока и решите относительно L.

L_crit = (1 − D)·R/(2f)

Критическая индуктивность

L_crit = (1 − 0,3)·10/(2250·10³) = 14 µH

Ответ

L_crit = 14 µH

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: I_g = −25714 µA

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напряжение Тевенина

V_th = 9·(80/1080 − 200/220) = −7,515 V

Сопротивление Тевенина

R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 92,26 Ω

Ток гальванометра

I_g = −7,515/(92,26 + 200) = −25714 µA

Ответ

I_g = −25714 µA

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_o = 7,5 mV

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Выход при полной шкале

3·10 = 30 mV

Выход при этой нагрузке

V_o = 30·250/1000 = 7,5 mV

Ответ

V_o = 7,5 mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 4

Мультиплексор: мультиплексор 2ⁿ в 1 передаёт на выход один из своих информационных входов; адресные входы, читаемые как двоичное число, выбирают, какой именно. Для мультиплексора 4 в 1 с адресами S₁S₀ = AB: F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. Если подключить информационные входы к 0, 1, C или C′, мультиплексор реализует любую функцию от A, B и C, что — распространённый способ построить логику на одной микросхеме.

Выражение выхода

F = A′B′C + A′B + ABC′

Строки с F = 1

ABC = 001, 010, 011, 110

N = 4

Ответ

N = 4

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: Q = 7

Триггеры и счётчики: триггер меняется только по активному фронту тактового сигнала. D копирует свой вход (Q⁺ = D); T переключается при T = 1; JK сохраняет состояние при 00, сбрасывает при 01, устанавливает при 10 и переключает при 11. n-разрядный двоичный счётчик имеет 2ⁿ состояний и считает по модулю 2ⁿ; счётчик по модулю N считает 0, 1, …, N − 1 и возвращается к 0, и ему нужно наименьшее число триггеров n, при котором 2ⁿ ≥ N. Каждый разряд асинхронного счётчика делит частоту пополам, поэтому последний выход счётчика по модулю N работает на частоте f_clk/N. У счётчика Джонсона из n триггеров 2n состояний, у кольцевого счётчика n.

Полные циклы

Каждые 9 импульсов возвращают счётчик в то же состояние.

11 = 1·9 + 2

Значение после оставшихся импульсов

Q = (5 + 2) mod 9 = 7

Q = 0111₂

Ответ

Q = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1