Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

NPN-транзистор с β = 200 смещён делителем напряжения от V_CC = 15 V: R₁ = 56 kΩ от V_CC к базе и R₂ = 8,2 kΩ от базы к земле. Резистор коллектора R_C = 2,7 kΩ, резистор эмиттера R_E = 680 Ω. Примите V_BE = 0,7 V и используйте эквивалент Тевенена для делителя (ток базы не пренебрегайте). Найдите напряжение коллектор–эмиттер V_CE.

V_CC = 15 VR₁ = 56 kΩR₂ = 8,2 kΩR_C = 2,7 kΩR_E = 680 Ωβ = 200

V_CE = V

2.Диоды и транзисторыСложная

NPN-транзистор с β = 150 коммутирует нагрузочный резистор 150 Ω, включённый между V_CC = 9 V и его коллектором. Эмиттер заземлён. База управляется от логического выхода 5 V через резистор базы R_B. Примите V_BE = 0,7 V и V_CE(sat) = 0,2 V. Найдите наибольшее сопротивление резистора базы R_B, в kΩ, при котором транзистор ещё входит в насыщение.

V_CC = 9 VR_C = 150 Ωβ = 150V_in = 5 VV_BE = 0,7 VV_CE(sat) = 0,2 V

R_B = kΩ

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V_in = 1,5 VR_a = 100 kΩR_b = 4,7 kΩR₁ = 4,7 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = 0,7 VV₂ = 1,8 VR₁ = 1 kΩR₂ = 100 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 3 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. Найдите ток i в момент t = 1 ms.

i(0) = 3 AR = 50 ΩL = 47 mHt = 1 ms

i = A

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 5 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 3,75 V, ровно через 500 ms после старта. При C = 22 µF найдите необходимое сопротивление R.

V_s = 5 VV_th = 3,75 VT = 500 msC = 22 µF

R = kΩ

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 2 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 15 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный повышающий преобразователь преобразует 15 V в 30 V при 100 kHz и L = 22 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔI_L.

Vin = 15 VVo = 30 Vf = 100 kHzL = 22 µH

ΔI_L = A

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Идеальный понижающе-повышающий преобразователь преобразует 12 V в −4 V при нагрузке 12 Ω и частоте 25 kHz. Выходной конденсатор имеет ёмкость 100 µF. Найдите размах пульсаций выходного напряжения ΔV_o в mV.

Vin = 12 VVo = −4 Vf = 25 kHzC = 100 µFR = 12 Ω

ΔV_o = mV

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Мост имеет четыре плеча по 470 Ω и V_s = 5 V. Датчик R₂ увеличивается на ΔR = 1,88 Ω. Используя приближение малых изменений, найдите выход V_ab в mV.

V_s = 5 VR = 470 ΩΔR = 1,88 Ω

V_ab = mV

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Датчик силы (полный мост из тензорезисторов) имеет номинальный выход 1,5 mV/V при номинальной нагрузке 500 kg. Напряжение питания — 12 V. Найдите его выход V_o при нагрузке 200 kg.

1,5 mV/VF_rated = 500 kgV_s = 12 VF = 200 kg

V_o = mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

С помощью карты Карно найдите минимальную форму «произведение сумм» (POS) для F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 5, 10, 11, 15). Сколько членов-сумм (множителей), N, в ней?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 5, 10, 11, 15)

N =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Для F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 6, 9, 11, 14, 15) + d(5, 10), где d обозначает безразличные состояния, найдите число N существенных простых импликант.

F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 6, 9, 11, 14, 15) + d(5, 10)

N =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: V_CE = 9,28 V

Рабочая точка биполярного транзистора: в активном режиме V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B и I_E = (β + 1)·I_B. Найдите I_B из базового контура по второму закону Кирхгофа, затем I_C, затем V_CE из контура коллектор–эмиттер. Делитель напряжения в цепи базы заменяют эквивалентом Тевенена V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂; резистор в цепи эмиттера в базовом контуре выглядит в (β + 1) раз больше.

Эквивалент Тевенена для делителя

V_TH = 15·8,2/(56 + 8,2) = 1,916 V

R_TH = 56·8,2/(56 + 8,2) = 7,153 kΩ

Ток базы

Второй закон Кирхгофа для базового контура; ток эмиттера равен (β + 1)·I_B.

I_B = (1,916 − 0,7)/(7,153 + 201·0,68) = 8,453 µA

Ток коллектора

I_C = 200·8,453 µA = 1,691 mA

I_E = 201·8,453 µA = 1,699 mA

Напряжение коллектор–эмиттер

V_CE = 15 − 1,691·2,7 − 1,699·0,68 = 9,28 V

Ответ

V_CE = 9,28 V

2.Диоды и транзисторы

Ответ: R_B = 10,99 kΩ

Биполярный транзистор как ключ: чтобы полностью включить нагрузку, транзистор вводят в насыщение, где V_CE = V_CE(sat), а ток коллектора определяется нагрузкой: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C. Для насыщения нужен ток базы не менее I_B = I_C(sat)/β. Если ток базы меньше, транзистор остаётся в активном режиме, и I_C = β·I_B.

Ток коллектора в насыщении

I_C(sat) = (9 − 0,2)/150 = 58,67 mA

Минимальный ток базы

I_B(min) = I_C(sat)/β = 58,67/150 = 391,1 µA

Резистор базы

R_B = (5 − 0,7)/I_B = 4,3 V/0,3911 mA = 10,99 kΩ

Ответ

R_B = 10,99 kΩ

Любой меньший резистор базы тоже насыщает транзистор; на практике выбирают в несколько раз меньший.

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 0,7407 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Напряжение на входе +

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 1,5·4,7/(100 + 4,7) = 0,06734 V

Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя

V₋ = V₊, и ток через R₁ течёт также через R_f.

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 0,06734·(1 + 47/4,7) = 0,7407 V

Ответ

V_out = 0,7407 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = −7,18 V

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I₁ = V₁/R₁ = 0,7/1 = 0,7 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1,8/100 = 0,018 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0,718 mA

Выходное напряжение

V_out = −R_f·I_f = −10·0,718 = −7,18 V

Ответ

V_out = −7,18 V

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 1,035 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 47 mH / 50 Ω = 0,94 ms

Убывание тока

i(t) = 3·e^−1/0,94 = 1,035 A

Ответ

i = 1,035 A

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: R = 16,39 kΩ

Требуемая постоянная времени

3,75 = 5·(1 − e^−500/τ) → τ = 500/ln(5/(5 − 3,75))

τ = 500/1,386 = 360,7 ms

Сопротивление

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

R = τ/C = 360,7/22 = 16,39 kΩ

Ответ

R = 16,39 kΩ

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 1,548 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 3 + 2 = 5 Ω

R₂ ∥ 5 = 3·5/(3+5) = 1,875 Ω

R_eq = R₁ + 1,875 = 2 + 1,875 = 3,875 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/3,875 = 1,548 A

Ответ

I_R1 = 1,548 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 24,76 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 15 + 30 = 45 Ω

R₄ ∥ 45 = 9,474 Ω

R₃ + 9,474 = 14,47 Ω

R₂ ∥ 14,47 = 9,763 Ω

R_eq = R₁ + 9,763 = 15 + 9,763 = 24,76 Ω

Ответ

R_eq = 24,76 Ω

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔI_L = 3,409 A

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 1 − 15/30 = 0,5

Напряжение на катушке во время включения

Пока S включён, катушка индуктивности находится непосредственно под напряжением V_in.

V_L = 15 V

Пульсации тока

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 15·0,5/(22·10⁻⁶·100·10³) = 3,409 A

Ответ

ΔI_L = 3,409 A

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔV_o = 33,33 mV

Коэффициент заполнения

D = 4/(12 + 4) = 0,25

Ток нагрузки

I_o = 4/12 = 0,3333 A

Пульсации выходного напряжения

ΔV_o = 0,3333·0,25/(25·10³·100·10⁻⁶) = 33,33 mV

Ответ

ΔV_o = 33,33 mV

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_ab = 5 mV

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Относительное изменение

ΔR/R = 1,88/470 = 0,004

Линеаризованный выход

V_ab ≈ 5·0,004/4 = 5 mV

Ответ

V_ab = 5 mV

Точное значение равно 4,99 mV; приближение хорошо, пока ΔR/R мало.

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_o = 7,2 mV

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Выход при полной шкале

1,5·12 = 18 mV

Выход при этой нагрузке

V_o = 18·200/500 = 7,2 mV

Ответ

V_o = 7,2 mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 5

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Сгруппируйте нули

Каждая группа — прямоугольник из 2ᵏ клеток; клетки на краю соседствуют с клетками на противоположном краю.

(B + C + D′)

(B′ + C′ + D)

(A′ + C)

(A + C′ + D)

(A + B′ + C′)

Минимальная форма POS

F = (B + C + D′)(B′ + C′ + D)(A′ + C)(A + C′ + D)(A + B′ + C′)

N = 5

Ответ

N = 5

Существует другая группировка того же размера; в ней то же число членов и литералов.

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 4

Простые импликанты

Самые большие группы, которые можно образовать из единиц и X.

B′CD, BCD′, AC, A′C′D′, A′BD′, AB′D, A′BC′

Существенные простые импликанты

B′CD, AC, A′C′D′, AB′D

N = 4

Ответ

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1