Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

Стабилизатор на стабилитроне 12 V питается от 24 V через 100 Ω и питает нагрузку 3300 Ω. Найдите ток стабилитрона I_Z.

V_in = 24 VV_Z = 12 VR = 100 ΩR_L = 3300 Ω

I_Z = mA

2.Диоды и транзисторыСложная

Стабилизатор на стабилитроне 3,3 V имеет последовательный резистор 470 Ω. Входное напряжение может подниматься до 22 V, а нагрузка может быть отключена. Найдите наибольшую мощность P_Z,max, которую должен рассеивать стабилитрон.

V_in,max = 22 VV_Z = 3,3 VR = 470 Ω

P_Z,max = mW

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

Подберите резистор обратной связи R_f, чтобы этот неинвертирующий усилитель имел коэффициент усиления по напряжению 15.

R₁ = 10 kΩA_v = 15

R_f = kΩ

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Два каскада на идеальных ОУ соединены последовательно: инвертирующий усилитель (R₁, R_f1), за ним неинвертирующий (R₂ на землю, R_f2 в обратной связи). Оба питаются от ±15 V. Найдите общий коэффициент усиления по напряжению A_v = V_out/V_in.

R₁ = 2 kΩR_f1 = 22 kΩR₂ = 10 kΩR_f2 = 4,7 kΩ

A_v =

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 80% конечного значения? Найдите t.

V_s = 6 VR = 50 ΩL = 33 mH

t = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 4 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 400 ms.

V_s = 6 VR = 3,3 kΩC = 47 µFv_C(0) = 4 Vt = 400 ms

v_C = V

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 2 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 2 Ω

I_R2 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 4 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 30 Ω

I_R2 = A

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный понижающий преобразователь преобразует 24 V в 14,4 V при частоте переключения 200 kHz. Найдите индуктивность L, при которой размах пульсаций тока катушки составляет 2 A.

Vin = 24 VVo = 14,4 Vf = 200 kHzΔI_L = 2 A

L = µH

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Понижающий преобразователь преобразует 24 V в 14,4 V при 200 kHz и L = 10 µH. Найдите наименьший ток нагрузки I_o,min, при котором он остаётся в режиме непрерывного тока.

Vin = 24 VVo = 14,4 Vf = 200 kHzL = 10 µH

I_o,min = A

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Найдите сопротивление Тевенина R_th показанного моста со стороны выходных зажимов a и b.

V_s = 15 VR₁ = 300 ΩR₂ = 100 ΩR₃ = 150 ΩR₄ = 600 Ω

R_th = Ω

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Четвертьмост с одним активным тензорезистором (GF = 2,1) питается напряжением 5 V. Под нагрузкой выход показывает 2,1 mV. Найдите деформацию ε в µε.

V_s = 5 VGF = 2,1V_o = 2,1 mV

ε = µε

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

С помощью карты Карно найдите минимальную форму «произведение сумм» (POS) для F(A, B, C) = Σm(3, 6, 7). Сколько членов-сумм (множителей), N, в ней?

F(A, B, C) = Σm(3, 6, 7)

N =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Для F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 7, 11, 15) + d(3, 4, 8), где d обозначает безразличные состояния, найдите число N существенных простых импликант.

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 7, 11, 15) + d(3, 4, 8)

N =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: I_Z = 116,4 mA

Стабилизатор на стабилитроне: стабилитрон, включённый в обратном направлении, удерживает напряжение V_Z, пока его ток остаётся выше минимума I_Z,min. Последовательный резистор R берёт на себя разность между входным и выходным напряжением: I_R = (V_in − V_Z)/R. Этот ток делится между нагрузкой, I_L = V_Z/R_L, и стабилитроном: I_Z = I_R − I_L. Проектируйте для худших случаев: при наименьшем входном напряжении и наибольшей нагрузке должен оставаться ток I_Z,min, а при наибольшем входном напряжении без нагрузки получается наибольшая мощность стабилитрона P_Z = V_Z·I_Z.

Ток резистора

I_R = 12/100 = 120 mA

Ток нагрузки

I_L = 12/3300 = 3,636 mA

Ток стабилитрона

I_Z = 120 − 3,636 = 116,4 mA

Ответ

I_Z = 116,4 mA

2.Диоды и транзисторы

Ответ: P_Z,max = 131,3 mW

Ток стабилитрона в худшем случае

I_Z = 18,7/470 = 39,79 mA

Мощность стабилитрона

P_Z = 3,3·39,79 = 131,3 mW

Ответ

P_Z,max = 131,3 mW

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: R_f = 140 kΩ

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя

V₋ = V₊ = V_in, а ток через R₁ течёт и через R_f, поэтому V_out = V_in·(1 + R_f/R₁).

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (15 − 1)·10 = 140 kΩ

Ответ

R_f = 140 kΩ

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: A_v = −16,17

Коэффициент усиления каждого каскада

A₁ = −R_f1/R₁ = −22/2 = −11

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 4,7/10 = 1,47

Общий коэффициент усиления

A_v = A₁·A₂ = −11·1,47 = −16,17

Ответ

A_v = −16,17

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 1,062 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 33 mH / 50 Ω = 0,66 ms

i(∞) = V_s/R = 6/50 = 0,12 A

Выразите время

0,8 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,8)

t = −0,66·ln(0,2) = 1,062 ms

Ответ

t = 1,062 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 5,848 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 4 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 47 µF = 155,1 ms

v_C(t) = 6 + (4 − 6)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(400) = 6 + (−2)·e^−400/155,1 = 5,848 V

Ответ

v_C = 5,848 V

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 1,538 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 10 + 2 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 15·12/(15+12) = 6,667 Ω

R_eq = R₁ + 6,667 = 2 + 6,667 = 8,667 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/8,667 = 3,462 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 3,462·2 = 23,08 V

I_R2 = V_A/R₂ = 23,08/15 = 1,538 A

Ответ

I_R2 = 1,538 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 1,616 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 10 + 30 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 17,14 Ω

R₃ + 17,14 = 47,14 Ω

R₂ ∥ 47,14 = 8,25 Ω

R_eq = R₁ + 8,25 = 4 + 8,25 = 12,25 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/12,25 = 1,959 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1,959·4 = 16,16 V

I_R2 = V_A/R₂ = 16,16/10 = 1,616 A

Ответ

I_R2 = 1,616 A

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: L = 14,4 µH

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 14,4/24 = 0,6

Индуктивность

L = 9,6·0,6/(2·200·10³) = 14,4 µH

Ответ

L = 14,4 µH

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: I_o,min = 1,44 A

Коэффициент заполнения

D = 14,4/24 = 0,6

Пульсации тока

ΔI_L = 14,4·0,4/(10·10⁻⁶·200·10³) = 2,88 A

Граничный ток нагрузки

I_o,min = ΔI_L/2 = 1,44 A

Ответ

I_o,min = 1,44 A

Ниже этого тока преобразователь переходит в режим прерывистого тока, и V_o поднимается выше D·V_in.

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: R_th = 195 Ω

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Источник замкнут накоротко

R₁∥R₂ = 300·100/400 = 75 Ω

R₃∥R₄ = 150·600/750 = 120 Ω

Сопротивление Тевенина

R_th = 195 Ω

Ответ

R_th = 195 Ω

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: ε = 800 µε

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Решите уравнение четвертьмоста

ε = 4·0,0021/(5·2,1) = 0,0008

В микродеформациях

ε = 800 µε

Ответ

ε = 800 µε

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 2

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Сгруппируйте нули

Каждая группа — прямоугольник из 2ᵏ клеток; клетки на краю соседствуют с клетками на противоположном краю.

(A + C)

Минимальная форма POS

F = B(A + C)

N = 2

Ответ

N = 2

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 3

Простые импликанты

Самые большие группы, которые можно образовать из единиц и X.

CD, A′B′D, A′B′C

Существенные простые импликанты

CD, A′B′D, A′B′C

N = 3

Ответ

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1