Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

NPN-транзистор с β = 100 смещён резистором базы R_B = 1000 kΩ от источника питания V_CC = 12 V. Резистор коллектора R_C = 2,7 kΩ, эмиттер заземлён. Примите V_BE = 0,7 V и считайте, что транзистор работает в активном режиме. Найдите ток коллектора I_C в mA.

V_CC = 12 VR_B = 1000 kΩR_C = 2,7 kΩβ = 100V_BE = 0,7 V

I_C = mA

2.Диоды и транзисторыСложная

Стабилизатор на стабилитроне 5,1 V должен питать нагрузку током до 40 mA. Входное напряжение может падать до 9 V, а стабилитрону для стабилизации нужно не менее 5 mA. Найдите наибольшее последовательное сопротивление R_max, при котором стабилизация сохраняется.

V_in,min = 9 VV_Z = 5,1 VI_L,max = 40 mAI_Z,min = 5 mA

R_max = Ω

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

Дифференциальный усилитель выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V, при этом R₃ = R₁ и R₄ = R₂. Найдите напряжение V₋ на инвертирующем входе.

V₁ = 1 VV₂ = 0,5 VR₁ = R₃ = 4,7 kΩR₂ = R₄ = 100 kΩ

V₋ = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Интегратор выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V; его выход насыщается на уровне ±14 V. Конденсатор не заряжен, когда при t = 0 подаётся постоянное входное напряжение V_in = 1,3 V. Найдите выходное напряжение V_out при t = 100 ms.

V_in = 1,3 VR = 100 kΩC = 0,47 µFV_sat = ±14 Vt = 100 ms

V_out = V

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 50% конечного значения? Найдите t.

V_s = 24 VR = 22 ΩL = 10 mH

t = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 2 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 5 V? Найдите t.

V_s = 12 VR = 1 kΩC = 68 µFv_C(0) = 2 V

t = ms

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 12 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 25 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 20 Ω

R_eq = Ω

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный повышающий преобразователь преобразует 9 V в 15 V при 250 kHz и L = 150 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔI_L.

Vin = 9 VVo = 15 Vf = 250 kHzL = 150 µH

ΔI_L = A

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Понижающий преобразователь преобразует 9 V в 5,4 V при нагрузке 12 Ω и частоте 40 kHz, при L = 330 µH и C = 22 µF. Найдите размах пульсаций выходного напряжения ΔV_o в mV.

Vin = 9 VVo = 5,4 Vf = 40 kHzL = 330 µHC = 22 µF

ΔV_o = mV

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Тензорезистор 200 Ω — одно из плеч (R₂) моста с четырьмя равными плечами по 200 Ω и напряжением питания 5 V. Найдите мощность P_g, рассеиваемую в тензорезисторе, в mW. Самонагрев ограничивает напряжение питания.

V_s = 5 VR = 200 Ω

P_g = mW

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Датчик силы (полный мост из тензорезисторов) имеет номинальный выход 1,5 mV/V при номинальной нагрузке 100 kg. Напряжение питания — 5 V. Найдите его выход V_o при нагрузке 25 kg.

1,5 mV/VF_rated = 100 kgV_s = 5 VF = 25 kg

V_o = mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

С помощью карты Карно найдите минимальную форму «произведение сумм» (POS) для F(A, B, C) = Σm(1, 3, 4, 6, 7). Сколько членов-сумм (множителей), N, в ней?

F(A, B, C) = Σm(1, 3, 4, 6, 7)

N =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Для F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 7, 9, 11, 15) + d(0, 14), где d обозначает безразличные состояния, найдите число N существенных простых импликант.

F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 7, 9, 11, 15) + d(0, 14)

N =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: I_C = 1,13 mA

Рабочая точка биполярного транзистора: в активном режиме V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B и I_E = (β + 1)·I_B. Найдите I_B из базового контура по второму закону Кирхгофа, затем I_C, затем V_CE из контура коллектор–эмиттер. Делитель напряжения в цепи базы заменяют эквивалентом Тевенена V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂; резистор в цепи эмиттера в базовом контуре выглядит в (β + 1) раз больше.

Ток базы

I_B = (V_CC − V_BE)/R_B = (12 − 0,7)/1000 kΩ = 11,3 µA

Ток коллектора

I_C = β·I_B = 100·11,3 µA = 1,13 mA

Ответ

I_C = 1,13 mA

Проверка: V_CE = 8,949 V заметно больше 0,2 V, значит, транзистор действительно в активном режиме.

2.Диоды и транзисторы

Ответ: R_max = 86,67 Ω

Стабилизатор на стабилитроне: стабилитрон, включённый в обратном направлении, удерживает напряжение V_Z, пока его ток остаётся выше минимума I_Z,min. Последовательный резистор R берёт на себя разность между входным и выходным напряжением: I_R = (V_in − V_Z)/R. Этот ток делится между нагрузкой, I_L = V_Z/R_L, и стабилитроном: I_Z = I_R − I_L. Проектируйте для худших случаев: при наименьшем входном напряжении и наибольшей нагрузке должен оставаться ток I_Z,min, а при наибольшем входном напряжении без нагрузки получается наибольшая мощность стабилитрона P_Z = V_Z·I_Z.

Ток в худшем случае

I_R = 40 + 5 = 45 mA

Наибольшее сопротивление

R_max = 3,9/0,045 = 86,67 Ω

Ответ

R_max = 86,67 Ω

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V₋ = 0,4776 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Напряжение на входах

Через R₃ и R₄ течёт один и тот же ток, поэтому они образуют делитель напряжения; обратная связь обеспечивает V₋ = V₊.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 0,5·100/(4,7 + 100) = 0,4776 V

V₋ = V₊

Ответ

V₋ = 0,4776 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = −2,766 V

Входной ток и скорость нарастания

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

RC = 100 kΩ · 0,47 µF = 47 ms

скорость нарастания = −V_in/(RC) = −1,3/47 = −0,02766 V/ms

Выходное напряжение в заданный момент

Идеальное значение лежит в пределах ±V_sat, поэтому интегратор ещё не вошёл в ограничение.

V_out = −V_in·t/(RC) = −1,3·100/47 = −2,766 V

Ответ

V_out = −2,766 V

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 0,3151 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 10 mH / 22 Ω = 0,4545 ms

i(∞) = V_s/R = 24/22 = 1,091 A

Выразите время

0,5 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,5)

t = −0,4545·ln(0,5) = 0,3151 ms

Ответ

t = 0,3151 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 24,25 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms

v_C(t) = 12 + (2 − 12)·e^−t/τ

Выразите время

5 = 12 + (−10)·e^−t/τ → e^−t/τ = (5 − 12)/(2 − 12) = 0,7

t = τ·ln((2 − 12)/(5 − 12)) = 68·ln(1,429) = 24,25 ms

Ответ

t = 24,25 ms

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 1,598 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 15 + 6 = 21 Ω

R₂ ∥ 21 = 10·21/(10+21) = 6,774 Ω

R_eq = R₁ + 6,774 = 12 + 6,774 = 18,77 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/18,77 = 1,598 A

Ответ

I_R1 = 1,598 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 31,69 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 5 + 20 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 7,143 Ω

R₃ + 7,143 = 15,14 Ω

R₂ ∥ 15,14 = 6,695 Ω

R_eq = R₁ + 6,695 = 25 + 6,695 = 31,69 Ω

Ответ

R_eq = 31,69 Ω

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔI_L = 0,096 A

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 1 − 9/15 = 0,4

Напряжение на катушке во время включения

Пока S включён, катушка индуктивности находится непосредственно под напряжением V_in.

V_L = 9 V

Пульсации тока

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 9·0,4/(150·10⁻⁶·250·10³) = 0,096 A

Ответ

ΔI_L = 0,096 A

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔV_o = 23,24 mV

Коэффициент заполнения

D = 5,4/9 = 0,6

Пульсации тока катушки

ΔI_L = (9 − 5,4)·0,6/(330·10⁻⁶·40·10³) = 0,1636 A

Пульсации выходного напряжения

ΔV_o = 0,1636/(8·40·10³·22·10⁻⁶) = 23,24 mV

Ответ

ΔV_o = 23,24 mV

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: P_g = 31,25 mW

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напряжение на тензорезисторе

V = 5/2 = 2,5 V

Мощность

P_g = 2,5²/200 = 31,25 mW

Ответ

P_g = 31,25 mW

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_o = 1,875 mV

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Выход при полной шкале

1,5·5 = 7,5 mV

Выход при этой нагрузке

V_o = 7,5·25/100 = 1,875 mV

Ответ

V_o = 1,875 mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 2

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Сгруппируйте нули

Каждая группа — прямоугольник из 2ᵏ клеток; клетки на краю соседствуют с клетками на противоположном краю.

(A + C)

(A′ + B + C′)

Минимальная форма POS

F = (A + C)(A′ + B + C′)

N = 2

Ответ

N = 2

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 2

Простые импликанты

Самые большие группы, которые можно образовать из единиц и X.

CD, A′B′D′, AB′D, A′B′C, ABC

Существенные простые импликанты

CD, AB′D

N = 2

Ответ

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1