Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

NPN-транзистор с β = 100 смещён делителем напряжения от V_CC = 20 V: R₁ = 47 kΩ от V_CC к базе и R₂ = 8,2 kΩ от базы к земле. Резистор коллектора R_C = 3,3 kΩ, резистор эмиттера R_E = 2,2 kΩ. Примите V_BE = 0,7 V и используйте эквивалент Тевенена для делителя (ток базы не пренебрегайте). Найдите напряжение коллектор–эмиттер V_CE.

V_CC = 20 VR₁ = 47 kΩR₂ = 8,2 kΩR_C = 3,3 kΩR_E = 2,2 kΩβ = 100

V_CE = V

2.Диоды и транзисторыСложная

Диод моделируется напряжением 0,65 V последовательно с 25 Ω (он проводит выше 0,65 V). Он включён последовательно с резистором 220 Ω к источнику 5 V. Найдите рабочий ток I_D в точке пересечения характеристики диода и нагрузочной прямой.

V_s = 5 VR = 220 ΩV₀ = 0,65 Vr_d = 25 Ω

I_D = mA

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V_in = 0,8 VR₁ = 2 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите ток I_f через резистор обратной связи, текущий к выходу.

V₁ = −0,1 VV₂ = −0,8 VR₁ = 22 kΩR₂ = 2 kΩR_f = 4,7 kΩ

I_f = mA

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 25 ms.

V_s = 12 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 6,8 kΩC = 22 µFt = 25 ms

v_C = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 30 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 300 ms.

V_s = 9 VR = 6,8 kΩC = 100 µFv_C(0) = 30 Vt = 300 ms

v_C = V

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 6 Ω

I_R2 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 3 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 15 Ω

R_eq = Ω

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Понижающий преобразователь преобразует 12 V в 8,4 V при нагрузке 5 Ω. Он переключается с частотой 50 kHz при L = 47 µH. Найдите пиковый ток катушки I_max.

Vin = 12 VVo = 8,4 Vf = 50 kHzL = 47 µHR = 5 Ω

I_max = A

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Идеальный инвертирующий понижающе-повышающий преобразователь преобразует 12 V в −28 V при нагрузке 2 Ω и частоте 25 kHz. Найдите наименьшую индуктивность L_crit для режима непрерывного тока.

Vin = 12 VVo = −28 Vf = 25 kHzR = 2 Ω

L_crit = µH

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Мост имеет четыре плеча по 200 Ω и V_s = 15 V. Датчик R₂ увеличивается на ΔR = 2 Ω. Используя приближение малых изменений, найдите выход V_ab в mV.

V_s = 15 VR = 200 ΩΔR = 2 Ω

V_ab = mV

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Четвертьмост с одним активным тензорезистором (GF = 2,12) питается напряжением 10 V. Под нагрузкой выход показывает 3,18 mV. Найдите деформацию ε в µε.

V_s = 10 VGF = 2,12V_o = 3,18 mV

ε = µε

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

С помощью карты Карно найдите минимальную форму «произведение сумм» (POS) для F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 4, 8, 9, 11, 13, 14). Сколько членов-сумм (множителей), N, в ней?

F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 4, 8, 9, 11, 13, 14)

N =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Найдите минимальную форму SOP для F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 5, 6, 7, 10, 15) + d(12, 14), где d обозначает безразличные состояния. Сколько литералов, L, она содержит?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 5, 6, 7, 10, 15) + d(12, 14)

L =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: V_CE = 14,53 V

Рабочая точка биполярного транзистора: в активном режиме V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B и I_E = (β + 1)·I_B. Найдите I_B из базового контура по второму закону Кирхгофа, затем I_C, затем V_CE из контура коллектор–эмиттер. Делитель напряжения в цепи базы заменяют эквивалентом Тевенена V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂; резистор в цепи эмиттера в базовом контуре выглядит в (β + 1) раз больше.

Эквивалент Тевенена для делителя

V_TH = 20·8,2/(47 + 8,2) = 2,971 V

R_TH = 47·8,2/(47 + 8,2) = 6,982 kΩ

Ток базы

Второй закон Кирхгофа для базового контура; ток эмиттера равен (β + 1)·I_B.

I_B = (2,971 − 0,7)/(6,982 + 101·2,2) = 9,909 µA

Ток коллектора

I_C = 100·9,909 µA = 0,9909 mA

I_E = 101·9,909 µA = 1,001 mA

Напряжение коллектор–эмиттер

V_CE = 20 − 0,9909·3,3 − 1,001·2,2 = 14,53 V

Ответ

V_CE = 14,53 V

2.Диоды и транзисторы

Ответ: I_D = 17,76 mA

Цепи со светодиодами и диодами: светодиод в прямом включении падает примерно на своё прямое напряжение V_F (около 2 V для красного, 3 V для синего или белого) независимо от тока. Последовательный резистор задаёт ток: R = (V_s − n·V_F)/I для n светодиодов последовательно. В более точной модели диода V = V₀ + I·r_d рабочая точка находится там, где характеристика диода пересекает нагрузочную прямую I = (V_s − V)/R, поэтому I = (V_s − V₀)/(R + r_d).

Объедините два уравнения

5 = 0,65 + I·(220 + 25)

Рабочий ток

I_D = 4,35/245 = 17,76 mA

V_D = 0,65 + 0,01776·25 = 1,094 V

Ответ

I_D = 17,76 mA

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 4,8 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Инвертирующий вход повторяет вход

V₋ = V₊ = 0,8 V

I = V₋/R₁ = 0,8/2 = 0,4 mA

Выходное напряжение

Ток через R₁ течёт и через R_f.

V_out = V₋ + I·R_f = 0,8 + 0,4·10 = 4,8 V

Ответ

V_out = 4,8 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: I_f = −0,4045 mA

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I₁ = V₁/R₁ = −0,1/22 = −0,004545 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0,8/2 = −0,4 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0,4045 mA

Ответ

I_f = −0,4045 mA

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 1,705 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти R_th; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6,8·6,8/(6,8 + 6,8) = 3,4 kΩ

v_C(∞) = 12·6,8/(6,8 + 6,8) = 6 V

Постоянная времени

τ = R_th·C = 3,4·22 = 74,8 ms

Кривая заряда

v_C(t) = 6·(1 − e^−25/74,8) = 1,705 V

Ответ

v_C = 1,705 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 22,51 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 100 µF = 680 ms

v_C(t) = 9 + (30 − 9)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(300) = 9 + (21)·e^−300/680 = 22,51 V

Ответ

v_C = 22,51 V

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,9474 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 3 + 6 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 6·9/(6+9) = 3,6 Ω

R_eq = R₁ + 3,6 = 4 + 3,6 = 7,6 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/7,6 = 1,579 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 1,579·4 = 5,684 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,684/6 = 0,9474 A

Ответ

I_R2 = 0,9474 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 10,39 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 5 + 15 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 8,571 Ω

R₃ + 8,571 = 14,57 Ω

R₂ ∥ 14,57 = 7,391 Ω

R_eq = R₁ + 7,391 = 3 + 7,391 = 10,39 Ω

Ответ

R_eq = 10,39 Ω

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: I_max = 2,216 A

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 8,4/12 = 0,7

Средний ток и пульсации тока

I_o = 8,4/5 = 1,68 A

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 3,6·0,7/(47·10⁻⁶·50·10³) = 1,072 A

Пиковый ток

I_max = 1,68 + 1,072/2 = 2,216 A

Ответ

I_max = 2,216 A

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: L_crit = 3,6 µH

Коэффициент заполнения

D = 28/(12 + 28) = 0,7

Граничное условие

Приравняйте средний ток катушки к половине пульсаций тока и решите относительно L.

L_crit = (1 − D)²·R/(2f)

Критическая индуктивность

L_crit = (1 − 0,7)²·2/(225·10³) = 3,6 µH

Ответ

L_crit = 3,6 µH

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_ab = 37,5 mV

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Относительное изменение

ΔR/R = 2/200 = 0,01

Линеаризованный выход

V_ab ≈ 15·0,01/4 = 37,5 mV

Ответ

V_ab = 37,5 mV

Точное значение равно 37,31 mV; приближение хорошо, пока ΔR/R мало.

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: ε = 600 µε

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Решите уравнение четвертьмоста

ε = 4·0,00318/(10·2,12) = 0,0006

В микродеформациях

ε = 600 µε

Ответ

ε = 600 µε

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 6

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Сгруппируйте нули

Каждая группа — прямоугольник из 2ᵏ клеток; клетки на краю соседствуют с клетками на противоположном краю.

(B′ + C′ + D′)

(A + C + D′)

(A + B + C)

(A + B′ + C′)

(A′ + B + C′ + D)

(A′ + B′ + C + D)

Минимальная форма POS

F = (B′ + C′ + D′)(A + C + D′)(A + B + C)(A + B′ + C′)(A′ + B + C′ + D)(A′ + B′ + C + D)

N = 6

Ответ

N = 6

Существует другая группировка того же размера; в ней то же число членов и литералов.

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: L = 7

Простые импликанты

Самые большие группы, которые можно образовать из единиц и X.

CD′, BC, A′C′D, A′BD

Минимальное покрытие

F = CD′ + BC + A′C′D

L = 7

Ответ

L = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1