Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

NPN-транзистор с β = 100 смещён делителем напряжения от V_CC = 18 V: R₁ = 39 kΩ от V_CC к базе и R₂ = 15 kΩ от базы к земле. Резистор коллектора R_C = 1 kΩ, резистор эмиттера R_E = 2,2 kΩ. Примите V_BE = 0,7 V и используйте эквивалент Тевенена для делителя (ток базы не пренебрегайте). Найдите напряжение коллектор–эмиттер V_CE.

V_CC = 18 VR₁ = 39 kΩR₂ = 15 kΩR_C = 1 kΩR_E = 2,2 kΩβ = 100

V_CE = V

2.Диоды и транзисторыСложная

Стабилизатор на стабилитроне 5,1 V должен питать нагрузку током до 40 mA. Входное напряжение может падать до 12 V, а стабилитрону для стабилизации нужно не менее 5 mA. Найдите наибольшее последовательное сопротивление R_max, при котором стабилизация сохраняется.

V_in,min = 12 VV_Z = 5,1 VI_L,max = 40 mAI_Z,min = 5 mA

R_max = Ω

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от источников ±15 V; его выход насыщается на уровне ±14 V. На неинвертирующий усилитель подаётся синусоидальный сигнал. Найдите наибольшую амплитуду входного сигнала V_in,max (пиковое значение), при которой выход не ограничивается.

R₁ = 4,7 kΩR_f = 10 kΩV_sat = ±14 V

V_in,max = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Интегратор выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V; его выход насыщается на уровне ±12 V. Конденсатор не заряжен, когда при t = 0 подаётся постоянное входное напряжение V_in = −2 V. Через какое время после t = 0 выход достигнет насыщения? Найдите t.

V_in = −2 VR = 47 kΩC = 1 µFV_sat = ±12 V

t = ms

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 0,5 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. Найдите ток i в момент t = 1 ms.

i(0) = 0,5 AR = 33 ΩL = 47 mHt = 1 ms

i = A

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ, шунтирующий R₂, был замкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ размыкается. Найдите ток катушки i при t = 1 ms.

V_s = 6 VR₁ = 22 ΩR₂ = 47 ΩL = 47 mHt = 1 ms

i = A

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 15 Ω

R_eq = Ω

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 3 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 6 Ω

I_R1 = A

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный понижающий преобразователь преобразует 24 V в 6 V при частоте переключения 40 kHz. Найдите индуктивность L, при которой размах пульсаций тока катушки составляет 0,5 A.

Vin = 24 VVo = 6 Vf = 40 kHzΔI_L = 0,5 A

L = µH

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Идеальный повышающий преобразователь преобразует 36 V в 120 V при нагрузке 4 Ω и частоте 100 kHz. Выходной конденсатор имеет ёмкость 100 µF. Найдите размах пульсаций выходного напряжения ΔV_o в mV.

Vin = 36 VVo = 120 Vf = 100 kHzC = 100 µFR = 4 Ω

ΔV_o = mV

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Гальванометр с сопротивлением 20 Ω включён между a и b показанного моста (V_s = 6 V). Найдите ток гальванометра I_g от a к b в µA.

V_s = 6 VR₁ = 600 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 800 ΩR₄ = 300 ΩR_g = 20 Ω

I_g = µA

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Четвертьмост (один активный тензорезистор, GF = 2,1) питается напряжением 2,5 V. Наибольшая измеряемая деформация составляет 400 µε, и она должна давать 10 V на входе аналого-цифрового преобразователя. Найдите коэффициент усиления усилителя G.

V_s = 2,5 VGF = 2,1ε_max = 400 µεV_FS = 10 V

G =

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

С помощью карты Карно найдите минимальную форму «сумма произведений» (SOP) для F(A, B, C, D) = Σm(3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 15). Сколько членов-произведений, N, в ней?

F(A, B, C, D) = Σm(3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 15)

N =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

3-разрядный двоичный суммирующий счётчик начинает с 5 (в десятичном виде, Q = 101). Какое значение Q (в десятичном виде) он покажет после 10 тактовых импульсов?

Q₀ = 510n = 3

Q =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: V_CE = 12,05 V

Рабочая точка биполярного транзистора: в активном режиме V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B и I_E = (β + 1)·I_B. Найдите I_B из базового контура по второму закону Кирхгофа, затем I_C, затем V_CE из контура коллектор–эмиттер. Делитель напряжения в цепи базы заменяют эквивалентом Тевенена V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂; резистор в цепи эмиттера в базовом контуре выглядит в (β + 1) раз больше.

Эквивалент Тевенена для делителя

V_TH = 18·15/(39 + 15) = 5 V

R_TH = 39·15/(39 + 15) = 10,83 kΩ

Ток базы

Второй закон Кирхгофа для базового контура; ток эмиттера равен (β + 1)·I_B.

I_B = (5 − 0,7)/(10,83 + 101·2,2) = 18,45 µA

Ток коллектора

I_C = 100·18,45 µA = 1,845 mA

I_E = 101·18,45 µA = 1,864 mA

Напряжение коллектор–эмиттер

V_CE = 18 − 1,845·1 − 1,864·2,2 = 12,05 V

Ответ

V_CE = 12,05 V

2.Диоды и транзисторы

Ответ: R_max = 153,3 Ω

Стабилизатор на стабилитроне: стабилитрон, включённый в обратном направлении, удерживает напряжение V_Z, пока его ток остаётся выше минимума I_Z,min. Последовательный резистор R берёт на себя разность между входным и выходным напряжением: I_R = (V_in − V_Z)/R. Этот ток делится между нагрузкой, I_L = V_Z/R_L, и стабилитроном: I_Z = I_R − I_L. Проектируйте для худших случаев: при наименьшем входном напряжении и наибольшей нагрузке должен оставаться ток I_Z,min, а при наибольшем входном напряжении без нагрузки получается наибольшая мощность стабилитрона P_Z = V_Z·I_Z.

Ток в худшем случае

I_R = 40 + 5 = 45 mA

Наибольшее сопротивление

R_max = 6,9/0,045 = 153,3 Ω

Ответ

R_max = 153,3 Ω

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_in,max = 4,476 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Коэффициент усиления

A_v = 1 + R_f/R₁ = 1 + 10/4,7 = 3,128

Наибольший вход до ограничения

V_in,max = V_sat/|A_v| = 14/3,128 = 4,476 V

Ответ

V_in,max = 4,476 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: t = 282 ms

Входной ток и скорость нарастания

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

RC = 47 kΩ · 1 µF = 47 ms

скорость нарастания = −V_in/(RC) = −(−2)/47 = 0,04255 V/ms

Время до насыщения

|V_in|·t/(RC) = V_sat → t = V_sat·RC/|V_in| = 12·47/2 = 282 ms

Ответ

t = 282 ms

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,2478 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 47 mH / 33 Ω = 1,424 ms

Убывание тока

i(t) = 0,5·e^−1/1,424 = 0,2478 A

Ответ

i = 0,2478 A

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,1298 A

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

До t = 0 замкнутый ключ шунтирует R₂; после этого в контур входят и R₁, и R₂.

i(0) = 6/22 = 0,2727 A

i(∞) = 6/(22 + 47) = 0,08696 A

τ = L/R = 47/69 = 0,6812 ms

i(t) = 0,08696 + (0,2727 − 0,08696)·e^−t/τ

Ток в заданный момент

i(1) = 0,08696 + (0,1858)·e^−1/0,6812 = 0,1298 A

Ответ

i = 0,1298 A

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 14,91 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 12 + 15 = 27 Ω

R₂ ∥ 27 = 6·27/(6+27) = 4,909 Ω

R_eq = R₁ + 4,909 = 10 + 4,909 = 14,91 Ω

Ответ

R_eq = 14,91 Ω

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,5382 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 25 + 6 = 31 Ω

R₄ ∥ 31 = 13,84 Ω

R₃ + 13,84 = 17,84 Ω

R₂ ∥ 17,84 = 8,148 Ω

R_eq = R₁ + 8,148 = 3 + 8,148 = 11,15 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/11,15 = 0,5382 A

Ответ

I_R1 = 0,5382 A

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: L = 225 µH

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 6/24 = 0,25

Индуктивность

L = 18·0,25/(0,5·40·10³) = 225 µH

Ответ

L = 225 µH

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔV_o = 2100 mV

Коэффициент заполнения

D = 1 − 36/120 = 0,7

Ток нагрузки

I_o = 120/4 = 30 A

Пульсации выходного напряжения

ΔV_o = 30·0,7/(100·10³·100·10⁻⁶) = 2100 mV

Ответ

ΔV_o = 2100 mV

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: I_g = −5602 µA

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напряжение Тевенина

V_th = 6·(20/620 − 300/1100) = −1,443 V

Сопротивление Тевенина

R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 237,5 Ω

Ток гальванометра

I_g = −1,443/(237,5 + 20) = −5602 µA

Ответ

I_g = −5602 µA

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: G = 19048

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Выход моста при полной шкале

V_o = 0,525 mV

Коэффициент усиления

G = 10/0,000525 = 19048

Ответ

G = 19048

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 4

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Сгруппируйте единицы

Каждая группа — прямоугольник из 2ᵏ клеток; клетки на краю соседствуют с клетками на противоположном краю.

BC′

AB′C

Минимальная форма SOP

F = CD + BC′ + AD + AB′C

N = 4

Ответ

N = 4

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: Q = 7

Триггеры и счётчики: триггер меняется только по активному фронту тактового сигнала. D копирует свой вход (Q⁺ = D); T переключается при T = 1; JK сохраняет состояние при 00, сбрасывает при 01, устанавливает при 10 и переключает при 11. n-разрядный двоичный счётчик имеет 2ⁿ состояний и считает по модулю 2ⁿ; счётчик по модулю N считает 0, 1, …, N − 1 и возвращается к 0, и ему нужно наименьшее число триггеров n, при котором 2ⁿ ≥ N. Каждый разряд асинхронного счётчика делит частоту пополам, поэтому последний выход счётчика по модулю N работает на частоте f_clk/N. У счётчика Джонсона из n триггеров 2n состояний, у кольцевого счётчика n.

Полные циклы

Каждые 8 импульсов возвращают счётчик в то же состояние.

10 = 1·8 + 2

Значение после оставшихся импульсов

Q = (5 + 2) mod 8 = 7

Q = 111₂

Ответ

Q = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1