Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

NPN-транзистор с β = 200 смещён делителем напряжения от V_CC = 15 V: R₁ = 68 kΩ от V_CC к базе и R₂ = 8,2 kΩ от базы к земле. Резистор коллектора R_C = 2,2 kΩ, резистор эмиттера R_E = 1,2 kΩ. Примите V_BE = 0,7 V и используйте эквивалент Тевенена для делителя (ток базы не пренебрегайте). Найдите напряжение коллектор–эмиттер V_CE.

V_CC = 15 VR₁ = 68 kΩR₂ = 8,2 kΩR_C = 2,2 kΩR_E = 1,2 kΩβ = 200

V_CE = V

2.Диоды и транзисторыСложная

NPN-транзистор с β = 150 коммутирует нагрузочный резистор 470 Ω, включённый между V_CC = 5 V и его коллектором. Эмиттер заземлён. База управляется от логического выхода 3,3 V через резистор базы R_B = 100 kΩ. Примите V_BE = 0,7 V и V_CE(sat) = 0,2 V. Найдите ток коллектора I_C в mA при высоком уровне на входе. Сначала определите, насыщен ли транзистор.

V_CC = 5 VR_C = 470 Ωβ = 150V_in = 3,3 VV_BE = 0,7 VV_CE(sat) = 0,2 VR_B = 100 kΩ

I_C = mA

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V_in = 1 VR_a = 1 kΩR_b = 2 kΩR₁ = 4,7 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Интегратор выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V; его выход насыщается на уровне ±13 V. Конденсатор не заряжен, когда при t = 0 подаётся постоянное входное напряжение V_in = −0,3 V. Через какое время после t = 0 выход достигнет насыщения? Найдите t.

V_in = −0,3 VR = 22 kΩC = 2,2 µFV_sat = ±13 V

t = ms

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 2,5 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. Найдите напряжение v_R на R при t = 1 ms.

i(0) = 2,5 AR = 22 ΩL = 22 mHt = 1 ms

v_R = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 24 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 12,8 V? Найдите t.

V_s = 10 VR = 1 kΩC = 68 µFv_C(0) = 24 V

t = ms

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный инвертирующий понижающе-повышающий преобразователь преобразует 24 V в −8 V при 500 kHz и L = 100 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔI_L.

Vin = 24 VVo = −8 Vf = 500 kHzL = 100 µH

ΔI_L = A

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Понижающий преобразователь преобразует 36 V в 14,4 V при нагрузке 20 Ω и частоте 200 kHz, при L = 150 µH и C = 47 µF. Найдите размах пульсаций выходного напряжения ΔV_o в mV.

Vin = 36 VVo = 14,4 Vf = 200 kHzL = 150 µHC = 47 µF

ΔV_o = mV

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Мост имеет четыре плеча по 200 Ω и V_s = 15 V. Датчик R₂ увеличивается на ΔR = 1,6 Ω. Используя приближение малых изменений, найдите выход V_ab в mV.

V_s = 15 VR = 200 ΩΔR = 1,6 Ω

V_ab = mV

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Мост с плечами 350 Ω питается напряжением 10 V; конфигурация: четыре активных тензорезистора, два на растяжение и два на сжатие (полный мост). Коэффициент тензочувствительности равен 2, деформация — 400 µε. Найдите выход моста V_o в mV.

V_s = 10 VGF = 2ε = 400 µε

V_o = mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

С помощью карты Карно найдите минимальную форму «сумма произведений» (SOP) для F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 5, 8, 12, 13, 14). Сколько всего литералов, L, она содержит (переменная со штрихом считается одним литералом)?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 5, 8, 12, 13, 14)

L =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Найдите минимальную форму SOP для F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 4, 5, 9, 11, 12, 14) + d(13, 15), где d обозначает безразличные состояния. Сколько членов-произведений, N, в ней?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 4, 5, 9, 11, 12, 14) + d(13, 15)

N =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: V_CE = 12,49 V

Рабочая точка биполярного транзистора: в активном режиме V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B и I_E = (β + 1)·I_B. Найдите I_B из базового контура по второму закону Кирхгофа, затем I_C, затем V_CE из контура коллектор–эмиттер. Делитель напряжения в цепи базы заменяют эквивалентом Тевенена V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂; резистор в цепи эмиттера в базовом контуре выглядит в (β + 1) раз больше.

Эквивалент Тевенена для делителя

V_TH = 15·8,2/(68 + 8,2) = 1,614 V

R_TH = 68·8,2/(68 + 8,2) = 7,318 kΩ

Ток базы

Второй закон Кирхгофа для базового контура; ток эмиттера равен (β + 1)·I_B.

I_B = (1,614 − 0,7)/(7,318 + 201·1,2) = 3,679 µA

Ток коллектора

I_C = 200·3,679 µA = 0,7357 mA

I_E = 201·3,679 µA = 0,7394 mA

Напряжение коллектор–эмиттер

V_CE = 15 − 0,7357·2,2 − 0,7394·1,2 = 12,49 V

Ответ

V_CE = 12,49 V

2.Диоды и транзисторы

Ответ: I_C = 3,9 mA

Биполярный транзистор как ключ: чтобы полностью включить нагрузку, транзистор вводят в насыщение, где V_CE = V_CE(sat), а ток коллектора определяется нагрузкой: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C. Для насыщения нужен ток базы не менее I_B = I_C(sat)/β. Если ток базы меньше, транзистор остаётся в активном режиме, и I_C = β·I_B.

Ток базы

I_B = (3,3 − 0,7)/100 kΩ = 26 µA

Насыщение или активный режим?

β·I_B меньше I_C(sat), поэтому транзистор остаётся в активном режиме.

β·I_B = 3,9 mA

I_C(sat) = (5 − 0,2)/470 = 10,21 mA

Ток коллектора

I_C = β·I_B = 3,9 mA

Ответ

I_C = 3,9 mA

Транзистор в активном режиме, поэтому нагрузка включена не полностью.

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 3,787 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Напряжение на входе +

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 1·2/(1 + 2) = 0,6667 V

Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя

V₋ = V₊, и ток через R₁ течёт также через R_f.

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 0,6667·(1 + 22/4,7) = 3,787 V

Ответ

V_out = 3,787 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: t = 2097 ms

Входной ток и скорость нарастания

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

RC = 22 kΩ · 2,2 µF = 48,4 ms

скорость нарастания = −V_in/(RC) = −(−0,3)/48,4 = 0,006198 V/ms

Время до насыщения

|V_in|·t/(RC) = V_sat → t = V_sat·RC/|V_in| = 13·48,4/0,3 = 2097 ms

Ответ

t = 2097 ms

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_R = 20,23 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 22 mH / 22 Ω = 1 ms

Убывание тока

i(t) = 2,5·e^−1/1 = 0,9197 A

v_R = R·i = 22·0,9197 = 20,23 V

Ответ

v_R = 20,23 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 109,4 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 24 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms

v_C(t) = 10 + (24 − 10)·e^−t/τ

Выразите время

12,8 = 10 + (14)·e^−t/τ → e^−t/τ = (12,8 − 10)/(24 − 10) = 0,2

t = τ·ln((24 − 10)/(12,8 − 10)) = 68·ln(5) = 109,4 ms

Ответ

t = 109,4 ms

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 1,781 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 4 + 20 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 2·24/(2+24) = 1,846 Ω

R_eq = R₁ + 1,846 = 15 + 1,846 = 16,85 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/16,85 = 1,781 A

Ответ

I_R1 = 1,781 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 7,149 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 2 + 10 = 12 Ω

R₄ ∥ 12 = 4,8 Ω

R₃ + 4,8 = 14,8 Ω

R₂ ∥ 14,8 = 3,149 Ω

R_eq = R₁ + 3,149 = 4 + 3,149 = 7,149 Ω

Ответ

R_eq = 7,149 Ω

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔI_L = 0,12 A

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 8/(24 + 8) = 0,25

Напряжение на катушке во время включения

Пока S включён, катушка индуктивности находится непосредственно под напряжением V_in.

V_L = 24 V

Пульсации тока

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 24·0,25/(100·10⁻⁶·500·10³) = 0,12 A

Ответ

ΔI_L = 0,12 A

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔV_o = 3,83 mV

Коэффициент заполнения

D = 14,4/36 = 0,4

Пульсации тока катушки

ΔI_L = (36 − 14,4)·0,4/(150·10⁻⁶·200·10³) = 0,288 A

Пульсации выходного напряжения

ΔV_o = 0,288/(8·200·10³·47·10⁻⁶) = 3,83 mV

Ответ

ΔV_o = 3,83 mV

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_ab = 30 mV

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Относительное изменение

ΔR/R = 1,6/200 = 0,008

Линеаризованный выход

V_ab ≈ 15·0,008/4 = 30 mV

Ответ

V_ab = 30 mV

Точное значение равно 29,88 mV; приближение хорошо, пока ΔR/R мало.

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_o = 8 mV

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Относительное изменение сопротивления

ΔR/R = 2·400·10⁻⁶ = 0,0008

Выход моста

V_o = V_s·GF·ε = 10·0,0008 = 8 mV

Ответ

V_o = 8 mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: L = 10

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Сгруппируйте единицы

Каждая группа — прямоугольник из 2ᵏ клеток; клетки на краю соседствуют с клетками на противоположном краю.

C′D′

BC′

A′B′D′

ABD′

Минимальная форма SOP

F = C′D′ + BC′ + A′B′D′ + ABD′

L = 10

Ответ

L = 10

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 3

Простые импликанты

Самые большие группы, которые можно образовать из единиц и X.

C′D, BC′, AD, A′C′, AB

Минимальное покрытие

F = AD + A′C′ + AB

N = 3

Ответ

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1