Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

NPN-транзистор с β = 120 смещён делителем напряжения от V_CC = 18 V: R₁ = 68 kΩ от V_CC к базе и R₂ = 12 kΩ от базы к земле. Резистор коллектора R_C = 3,3 kΩ, резистор эмиттера R_E = 1,2 kΩ. Примите V_BE = 0,7 V и используйте эквивалент Тевенена для делителя (ток базы не пренебрегайте). Найдите ток коллектора I_C в mA.

V_CC = 18 VR₁ = 68 kΩR₂ = 12 kΩR_C = 3,3 kΩR_E = 1,2 kΩβ = 120

I_C = mA

2.Диоды и транзисторыСложная

Диод моделируется напряжением 0,7 V последовательно с 10 Ω (он проводит выше 0,7 V). Он включён последовательно с резистором 330 Ω к источнику 3 V. Найдите рабочий ток I_D в точке пересечения характеристики диода и нагрузочной прямой.

V_s = 3 VR = 330 ΩV₀ = 0,7 Vr_d = 10 Ω

I_D = mA

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

Подберите резистор обратной связи R_f, чтобы этот неинвертирующий усилитель имел коэффициент усиления по напряжению 8.

R₁ = 22 kΩA_v = 8

R_f = kΩ

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = 1,3 VV₂ = −1,3 VR₁ = 10 kΩR₂ = 22 kΩR_f = 4,7 kΩ

V_out = V

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение v_L на катушке в момент t = 25 ms.

V_s = 12 VR = 15 ΩL = 150 mHt = 25 ms

v_L = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 12 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 7,2 V, ровно через 25 ms после старта. При R = 4,7 kΩ найдите необходимую ёмкость C.

V_s = 12 VV_th = 7,2 VT = 25 msR = 4,7 kΩ

C = µF

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 12 Ω

I_R1 = A

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный понижающий преобразователь преобразует 12 V в 3,6 V при частоте переключения 50 kHz. Найдите индуктивность L, при которой размах пульсаций тока катушки составляет 0,5 A.

Vin = 12 VVo = 3,6 Vf = 50 kHzΔI_L = 0,5 A

L = µH

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Идеальный понижающий преобразователь преобразует 36 V в 14,4 V при нагрузке 8 Ω и частоте 250 kHz. Найдите наименьшую индуктивность L_crit для режима непрерывного тока.

Vin = 36 VVo = 14,4 Vf = 250 kHzR = 8 Ω

L_crit = µH

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Тензорезистор 500 Ω — одно из плеч (R₂) моста с четырьмя равными плечами по 500 Ω и напряжением питания 2 V. Найдите мощность P_g, рассеиваемую в тензорезисторе, в mW. Самонагрев ограничивает напряжение питания.

V_s = 2 VR = 500 Ω

P_g = mW

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Тензорезистор (GF = 2,05) на элементе с E = 210 GPa образует четвертьмост с напряжением питания 10 V. Выход показывает 3,844 mV. Найдите осевое напряжение σ в MPa.

V_s = 10 VGF = 2,05V_o = 3,844 mVE = 210 GPa

σ = MPa

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

Упростите F = AB′ + BC′ + AB до минимальной формы «сумма произведений». Сколько литералов, L, содержит упрощённое выражение?

F = AB′ + BC′ + AB

L =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

4-разрядный двоичный суммирующий счётчик начинает с 1 (в десятичном виде, Q = 0001). Какое значение Q (в десятичном виде) он покажет после 44 тактовых импульсов?

Q₀ = 144n = 4

Q =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: I_C = 1,544 mA

Рабочая точка биполярного транзистора: в активном режиме V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B и I_E = (β + 1)·I_B. Найдите I_B из базового контура по второму закону Кирхгофа, затем I_C, затем V_CE из контура коллектор–эмиттер. Делитель напряжения в цепи базы заменяют эквивалентом Тевенена V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂; резистор в цепи эмиттера в базовом контуре выглядит в (β + 1) раз больше.

Эквивалент Тевенена для делителя

V_TH = 18·12/(68 + 12) = 2,7 V

R_TH = 68·12/(68 + 12) = 10,2 kΩ

Ток базы

Второй закон Кирхгофа для базового контура; ток эмиттера равен (β + 1)·I_B.

I_B = (2,7 − 0,7)/(10,2 + 121·1,2) = 12,87 µA

Ток коллектора

I_C = 120·12,87 µA = 1,544 mA

I_E = 121·12,87 µA = 1,557 mA

Ответ

I_C = 1,544 mA

2.Диоды и транзисторы

Ответ: I_D = 6,765 mA

Цепи со светодиодами и диодами: светодиод в прямом включении падает примерно на своё прямое напряжение V_F (около 2 V для красного, 3 V для синего или белого) независимо от тока. Последовательный резистор задаёт ток: R = (V_s − n·V_F)/I для n светодиодов последовательно. В более точной модели диода V = V₀ + I·r_d рабочая точка находится там, где характеристика диода пересекает нагрузочную прямую I = (V_s − V)/R, поэтому I = (V_s − V₀)/(R + r_d).

Объедините два уравнения

3 = 0,7 + I·(330 + 10)

Рабочий ток

I_D = 2,3/340 = 6,765 mA

V_D = 0,7 + 0,006765·10 = 0,7676 V

Ответ

I_D = 6,765 mA

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: R_f = 154 kΩ

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя

V₋ = V₊ = V_in, а ток через R₁ течёт и через R_f, поэтому V_out = V_in·(1 + R_f/R₁).

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (8 − 1)·22 = 154 kΩ

Ответ

R_f = 154 kΩ

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = −0,3333 V

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I₁ = V₁/R₁ = 1,3/10 = 0,13 mA

I₂ = V₂/R₂ = −1,3/22 = −0,05909 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0,07091 mA

Выходное напряжение

V_out = −R_f·I_f = −4,7·0,07091 = −0,3333 V

Ответ

V_out = −0,3333 V

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_L = 0,985 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 150 mH / 15 Ω = 10 ms

i(∞) = V_s/R = 12/15 = 0,8 A

Напряжение на катушке

В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 12·e^−25/10 = 0,985 V

Ответ

v_L = 0,985 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: C = 5,805 µF

Требуемая постоянная времени

7,2 = 12·(1 − e^−25/τ) → τ = 25/ln(12/(12 − 7,2))

τ = 25/0,9163 = 27,28 ms

Ёмкость

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

C = τ/R = 27,28/4,7 = 5,805 µF

Ответ

C = 5,805 µF

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,766 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 12 + 2 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 2·14/(2+14) = 1,75 Ω

R_eq = R₁ + 1,75 = 10 + 1,75 = 11,75 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/11,75 = 0,766 A

Ответ

I_R1 = 0,766 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,6388 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 30 + 12 = 42 Ω

R₄ ∥ 42 = 1,909 Ω

R₃ + 1,909 = 26,91 Ω

R₂ ∥ 26,91 = 3,482 Ω

R_eq = R₁ + 3,482 = 20 + 3,482 = 23,48 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/23,48 = 0,6388 A

Ответ

I_R1 = 0,6388 A

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: L = 100,8 µH

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 3,6/12 = 0,3

Индуктивность

L = 8,4·0,3/(0,5·50·10³) = 100,8 µH

Ответ

L = 100,8 µH

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: L_crit = 9,6 µH

Коэффициент заполнения

D = 14,4/36 = 0,4

Граничное условие

Приравняйте средний ток катушки к половине пульсаций тока и решите относительно L.

L_crit = (1 − D)·R/(2f)

Критическая индуктивность

L_crit = (1 − 0,4)·8/(2250·10³) = 9,6 µH

Ответ

L_crit = 9,6 µH

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: P_g = 2 mW

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напряжение на тензорезисторе

V = 2/2 = 1 V

Мощность

P_g = 1²/500 = 2 mW

Ответ

P_g = 2 mW

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: σ = 157,5 MPa

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Деформация

ε = 4·0,003844/(10·2,05) = 0,00075

Напряжение

σ = 210·10³ MPa·0,00075 = 157,5 MPa

Ответ

σ = 157,5 MPa

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: L = 3

Булева алгебра: правила, упрощающие выражения: X + X′ = 1 и X·X′ = 0, X + X = X, поглощение X + X·Y = X, правило склеивания X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y и теорема о консенсусе XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. Законы де Моргана превращают (X·Y)′ в X′ + Y′ и (X + Y)′ в X′·Y′. Карта Карно применяет эти правила графически: каждая группа из двух соседних клеток — это одно применение XY + XY′ = X.

Минтермы выражения

AB′ → m(4, 5)

BC′ → m(2, 6)

AB → m(6, 7)

Сгруппируйте и прочитайте

F = BC′ + A

Посчитайте литералы

L = 3

Ответ

L = 3

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: Q = 13

Триггеры и счётчики: триггер меняется только по активному фронту тактового сигнала. D копирует свой вход (Q⁺ = D); T переключается при T = 1; JK сохраняет состояние при 00, сбрасывает при 01, устанавливает при 10 и переключает при 11. n-разрядный двоичный счётчик имеет 2ⁿ состояний и считает по модулю 2ⁿ; счётчик по модулю N считает 0, 1, …, N − 1 и возвращается к 0, и ему нужно наименьшее число триггеров n, при котором 2ⁿ ≥ N. Каждый разряд асинхронного счётчика делит частоту пополам, поэтому последний выход счётчика по модулю N работает на частоте f_clk/N. У счётчика Джонсона из n триггеров 2n состояний, у кольцевого счётчика n.

Полные циклы

Каждые 16 импульсов возвращают счётчик в то же состояние.

44 = 2·16 + 12

Значение после оставшихся импульсов

Q = (1 + 12) mod 16 = 13

Q = 1101₂

Ответ

Q = 13

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1