Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

Стабилизатор на стабилитроне 3,3 V питается от 15 V через 330 Ω и питает нагрузку 3300 Ω. Найдите ток стабилитрона I_Z.

V_in = 15 VV_Z = 3,3 VR = 330 ΩR_L = 3300 Ω

I_Z = mA

2.Диоды и транзисторыСложная

NPN-транзистор с β = 200 коммутирует нагрузочный резистор 100 Ω, включённый между V_CC = 5 V и его коллектором. Эмиттер заземлён. База управляется от логического выхода 5 V через резистор базы R_B. Примите V_BE = 0,7 V и V_CE(sat) = 0,2 V. Найдите наибольшее сопротивление резистора базы R_B, в kΩ, при котором транзистор ещё входит в насыщение.

V_CC = 5 VR_C = 100 Ωβ = 200V_in = 5 VV_BE = 0,7 VV_CE(sat) = 0,2 V

R_B = kΩ

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V_in = 0,5 VR_a = 47 kΩR_b = 100 kΩR₁ = 2 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = −0,6 VV₂ = 1,9 VR₁ = 22 kΩR₂ = 47 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 15 ms.

V_s = 24 VR = 33 ΩL = 220 mHt = 15 ms

i = A

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 100 ms.

V_s = 6 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 6,8 kΩC = 33 µFt = 100 ms

v_C = V

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 30 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный понижающий преобразователь преобразует 15 V в 9 V при частоте переключения 25 kHz. Найдите индуктивность L, при которой размах пульсаций тока катушки составляет 1,5 A.

Vin = 15 VVo = 9 Vf = 25 kHzΔI_L = 1,5 A

L = µH

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Понижающий преобразователь преобразует 36 V в 25,2 V при 100 kHz и L = 68 µH. Найдите наименьший ток нагрузки I_o,min, при котором он остаётся в режиме непрерывного тока.

Vin = 36 VVo = 25,2 Vf = 100 kHzL = 68 µH

I_o,min = A

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Мост с четырьмя плечами по 400 Ω питается напряжением 3 V. Когда датчик R₂ изменяется, выход показывает V_ab = 57,69 mV. Найдите точное изменение ΔR сопротивления R₂.

V_s = 3 VR = 400 ΩV_ab = 57,69 mV

ΔR = Ω

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Мост с плечами 1000 Ω питается напряжением 2,5 V; конфигурация: один активный тензорезистор (четвертьмост). Коэффициент тензочувствительности равен 2,12, деформация — 800 µε. Найдите выход моста V_o в mV.

V_s = 2,5 VGF = 2,12ε = 800 µε

V_o = mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

С помощью карты Карно найдите минимальную форму «произведение сумм» (POS) для F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 14). Сколько членов-сумм (множителей), N, в ней?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 14)

N =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Найдите минимальную форму SOP для F(A, B, C, D) = Σm(3, 4, 8, 14, 15) + d(1, 13), где d обозначает безразличные состояния. Сколько литералов, L, она содержит?

F(A, B, C, D) = Σm(3, 4, 8, 14, 15) + d(1, 13)

L =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: I_Z = 34,45 mA

Стабилизатор на стабилитроне: стабилитрон, включённый в обратном направлении, удерживает напряжение V_Z, пока его ток остаётся выше минимума I_Z,min. Последовательный резистор R берёт на себя разность между входным и выходным напряжением: I_R = (V_in − V_Z)/R. Этот ток делится между нагрузкой, I_L = V_Z/R_L, и стабилитроном: I_Z = I_R − I_L. Проектируйте для худших случаев: при наименьшем входном напряжении и наибольшей нагрузке должен оставаться ток I_Z,min, а при наибольшем входном напряжении без нагрузки получается наибольшая мощность стабилитрона P_Z = V_Z·I_Z.

Ток резистора

I_R = 11,7/330 = 35,45 mA

Ток нагрузки

I_L = 3,3/3300 = 1 mA

Ток стабилитрона

I_Z = 35,45 − 1 = 34,45 mA

Ответ

I_Z = 34,45 mA

2.Диоды и транзисторы

Ответ: R_B = 17,92 kΩ

Биполярный транзистор как ключ: чтобы полностью включить нагрузку, транзистор вводят в насыщение, где V_CE = V_CE(sat), а ток коллектора определяется нагрузкой: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C. Для насыщения нужен ток базы не менее I_B = I_C(sat)/β. Если ток базы меньше, транзистор остаётся в активном режиме, и I_C = β·I_B.

Ток коллектора в насыщении

I_C(sat) = (5 − 0,2)/100 = 48 mA

Минимальный ток базы

I_B(min) = I_C(sat)/β = 48/200 = 240 µA

Резистор базы

R_B = (5 − 0,7)/I_B = 4,3 V/0,24 mA = 17,92 kΩ

Ответ

R_B = 17,92 kΩ

Любой меньший резистор базы тоже насыщает транзистор; на практике выбирают в несколько раз меньший.

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 4,082 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Напряжение на входе +

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 0,5·100/(47 + 100) = 0,3401 V

Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя

V₋ = V₊, и ток через R₁ течёт также через R_f.

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 0,3401·(1 + 22/2) = 4,082 V

Ответ

V_out = 4,082 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = −0,6182 V

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I₁ = V₁/R₁ = −0,6/22 = −0,02727 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1,9/47 = 0,04043 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0,01315 mA

Выходное напряжение

V_out = −R_f·I_f = −47·0,01315 = −0,6182 V

Ответ

V_out = −0,6182 V

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,6506 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 220 mH / 33 Ω = 6,667 ms

i(∞) = V_s/R = 24/33 = 0,7273 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,7273·(1 − e^−15/6,667) = 0,6506 A

Ответ

i = 0,6506 A

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 2,903 V

Начальное напряжение конденсатора

В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.

v_C(0) = 6·6,8/(2,2 + 6,8) = 4,533 V

Постоянная времени после размыкания ключа

τ = R₂·C = 6,8·33 = 224,4 ms

Разряд

v_C(t) = 4,533·e^−100/224,4 = 2,903 V

Ответ

v_C = 2,903 V

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 10,44 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 5 + 5 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 8·10/(8+10) = 4,444 Ω

R_eq = R₁ + 4,444 = 6 + 4,444 = 10,44 Ω

Ответ

R_eq = 10,44 Ω

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 37,69 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 20 + 8 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 13,21 Ω

R₃ + 13,21 = 33,21 Ω

R₂ ∥ 33,21 = 7,686 Ω

R_eq = R₁ + 7,686 = 30 + 7,686 = 37,69 Ω

Ответ

R_eq = 37,69 Ω

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: L = 96 µH

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 9/15 = 0,6

Индуктивность

L = 6·0,6/(1,5·25·10³) = 96 µH

Ответ

L = 96 µH

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: I_o,min = 0,5559 A

Коэффициент заполнения

D = 25,2/36 = 0,7

Пульсации тока

ΔI_L = 25,2·0,3/(68·10⁻⁶·100·10³) = 1,112 A

Граничный ток нагрузки

I_o,min = ΔI_L/2 = 0,5559 A

Ответ

I_o,min = 0,5559 A

Ниже этого тока преобразователь переходит в режим прерывистого тока, и V_o поднимается выше D·V_in.

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: ΔR = 32 Ω

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напряжение узла

V_a = 1,5 + 0,05769 = 1,558 V

Решите делитель

R₂ = 400·1,558/(3 − 1,558) = 432 Ω

ΔR = 432 − 400 = 32 Ω

Ответ

ΔR = 32 Ω

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_o = 1,06 mV

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Относительное изменение сопротивления

ΔR/R = 2,12·800·10⁻⁶ = 0,001696

Выход моста

V_o ≈ V_s·GF·ε/4 = 2,5·0,001696/4 = 1,06 mV

Ответ

V_o = 1,06 mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 4

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Сгруппируйте нули

Каждая группа — прямоугольник из 2ᵏ клеток; клетки на краю соседствуют с клетками на противоположном краю.

(B′ + C′ + D′)

(A′ + C + D)

(A′ + B + D)

(A′ + B + C)

Минимальная форма POS

F = (B′ + C′ + D′)(A′ + C + D)(A′ + B + D)(A′ + B + C)

N = 4

Ответ

N = 4

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: L = 14

Простые импликанты

Самые большие группы, которые можно образовать из единиц и X.

A′B′D, ABD, ABC, A′BC′D′, AB′C′D′

Минимальное покрытие

F = A′B′D + ABC + A′BC′D′ + AB′C′D′

L = 14

Ответ

L = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1