Инженерная математика 2: шпаргалка-пакет

Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·e^kt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.

Линейные уравнения второго порядка: для y″ + b·y′ + c·y = 0 ищите решение в виде y = e^rt: это даёт характеристическое уравнение r² + b·r + c = 0. Два различных вещественных корня r₁ ≠ r₂ дают y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (апериодический режим, передемпфированный); двойной корень r даёт y = (A + Bt)·e^rt (критическое затухание); комплексные корни −α ± jω дают y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (колебательный режим, недодемпфированный). Начальные значения y(0) и y′(0) определяют A и B. В записи y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 величина ω_n — собственная частота, а ζ — коэффициент демпфирования: при ζ < 1 возникают колебания. При постоянном входе y″ + by′ + cy = c·K решение равно установившемуся значению K плюс свободный отклик.

Матрицы: определитель матрицы 2×2 равен ad − bc. Для 3×3 разложите по строке: каждый элемент умножается на определитель матрицы 2×2, оставшейся после вычёркивания его строки и столбца, с чередующимися знаками + − +. Собственные значения λ удовлетворяют det(A − λI) = 0; для 2×2 это λ² − (след)·λ + det = 0.

Матрицы: определитель матрицы 2×2 равен ad − bc. Для 3×3 разложите по строке: каждый элемент умножается на определитель матрицы 2×2, оставшейся после вычёркивания его строки и столбца, с чередующимися знаками + − +. Собственные значения λ удовлетворяют det(A − λI) = 0; для 2×2 это λ² − (след)·λ + det = 0.

Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ — скаляр. Оно позволяет найти угол между двумя векторами, cos θ = a·b/(|a|·|b|), и равно нулю, когда векторы перпендикулярны. Скалярная проекция a на b равна a·b/|b|, а постоянная сила F, перемещающая тело на d, совершает работу W = F·d.

Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) перпендикулярно обоим векторам, а |a × b| = |a|·|b|·sin θ — площадь параллелограмма, построенного на них (площадь треугольника вдвое меньше). Порядок важен: b × a = −(a × b). Момент силы F, приложенной в точке A, относительно точки O равен M_O = r × F, где r = A − O.

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Градиент: ∇f = (f_x, f_y) указывает направление наискорейшего роста, а |∇f| — наибольшая скорость изменения. Производная по направлению v равна D_uf = ∇f·u, где единичный вектор u = v/|v|. Касательная плоскость в точке (a, b) задаётся уравнением z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); она даёт линейное приближение f вблизи этой точки. Цепное правило: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Критические точки и двойные интегралы: в критической точке f_x = f_y = 0. Тест по вторым производным с D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 и f_xx > 0 — локальный минимум, D > 0 и f_xx < 0 — локальный максимум, D < 0 — седловая точка, а D = 0 ничего не решает. Для двойного интеграла по произвольной области пусть пределы внутреннего интеграла будут кривыми, ограничивающими область; для кругов и секторов используйте полярные координаты, x = r cos θ, y = r sin θ и dA = r dr dθ (не забывайте множитель r).

Сходимость: если члены не стремятся к 0, ряд расходится (необходимый признак сходимости, признак n-го члена). Σ1/kᵖ сходится только при p > 1, а Σrᵏ — только при |r| < 1. Сравнивайте ряд с одним из них, когда его члены при больших k ведут себя так же. Признак Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|; радикальный признак Коши: L = lim |a_k|^1/k. При L < 1 ряд сходится, при L > 1 расходится, при L = 1 вывода нет. Степенной ряд Σc_k(x − x₀)ᵏ сходится при |x − x₀| < R, где R = lim |c_k/c_k+1|; знакочередующийся ряд с членами, убывающими к 0, сходится.

Многочлены Тейлора: вблизи x = a гладкая функция приближается многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; при a = 0 это многочлен Маклорена. Стандартные ряды: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оценка остатка по Лагранжу: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, где M — наибольшее значение |f⁽ⁿ⁺¹⁾| между a и x.

Преобразование Лапласа: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt превращает производные в умножение на s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Стандартные пары: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), а сдвиг s → s + σ умножает функцию времени на e^−σt. Чтобы найти оригинал рациональной F(s), разложите её на простые дроби: вычет простого полюса p равен A = [(s − p)·F(s)] при s = p. Теорема о конечном значении: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), верна только когда все полюсы s·F(s) лежат в левой полуплоскости. Теорема о начальном значении: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

Преобразование Лапласа: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt превращает производные в умножение на s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Стандартные пары: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), а сдвиг s → s + σ умножает функцию времени на e^−σt. Чтобы найти оригинал рациональной F(s), разложите её на простые дроби: вычет простого полюса p равен A = [(s − p)·F(s)] при s = p. Теорема о конечном значении: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), верна только когда все полюсы s·F(s) лежат в левой полуплоскости. Теорема о начальном значении: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

Непрерывная свёртка: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Отразите h, сдвиньте в положение t и проинтегрируйте произведение перекрывающихся частей. Для причинных сигналов интеграл берётся от 0 до t. Полезные факты: площадь y равна площади x, умноженной на площадь h; если x длится от t₁ до t₂, а h — от t₃ до t₄, то y длится от t₁ + t₃ до t₂ + t₄. Для h(t) = e^−atu(t) и ступеньки высотой A получаем y(t) = (A/a)(1 − e^−at).

Импульсная характеристика и ряд Фурье: импульсная характеристика h(t) полностью описывает линейную стационарную систему: для y′ + a·y = b·x она равна h(t) = b·e^−atu(t), а для y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] — h[n] = b·aⁿu[n]. Синусоида cos ωt проходит с коэффициентом передачи |H(jω)| и фазой ∠H(jω), где H — преобразование Фурье функции h. Периодический сигнал — это сумма гармоник на частотах k/T: меандр с амплитудой ±A содержит только нечётные гармоники с амплитудами 4A/(kπ), треугольная волна с пиком A — 8A/(π²k²), а последовательность импульсов высотой A и коэффициентом заполнения D имеет среднее значение A·D и гармоники (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.