Высшая математика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

Комплексные числа

Алгебраическая форма: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Модуль и аргумент: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Полярная и показательная форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Деление: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Произведение и частное: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Муавр: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Корни n-й степени: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Квадратное уравнение при p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Метод

Решите, какая форма подходит для операции: алгебраическая a + jb для сложения и вычитания, полярная r∠θ для умножения, деления, степеней и корней.
Умножайте, раскрывая скобки с j² = −1; делите, умножая числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю.
Переводите по формулам r = √(a² + b²) и θ по чертежу точки (проверьте четверть), а обратно — по a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степеней используйте формулу Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ перечислите все n корней R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Дифференциальные уравнения

Экспоненциальный рост/убывание: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Период полураспада: k = ln 2 / t_½
Закон охлаждения Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Интегрирующий множитель: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак смешения: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Матрицы и определители

определитель 2×2: det = ad − bc
Обратная матрица 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Собственные значения: det(A − λI) = 0
Правило Крамера: x_i = det(A_i)/det(A)

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (√(9x² + 2x) − 3x).

f(x) = √(9x² + 2x) − 3xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x².

f(x) = (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x²x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x·sin(3x), x в радианах. Найдите f′(0,5).

f(x) = x·sin(3x)x = 0,5 rad

f′(0.5) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = 2x² − 5x − 5 в точке x = −2 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = 2x² − 5x − 5x = −2

b =

5.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₁³ 1/x dx.

f(x) = 1/x[1, 3]

I =

6.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области между параболой y = 4 − x² и осью x.

y = 4 − x²

A =

7.Комплексные числаСредняя

Даны z₁ = 1,5∠70° и z₂ = 4∠−50°. Найдите действительную часть w = z₁·z₂.

z₁ = 1,5∠70°z₂ = 4∠−50°

Re(w) =

8.Комплексные числаСложная

Корни уравнения zⁿ = w при n = 5 и w = 32∠135° равны z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, …, 4. Найдите аргумент z₄ в градусах, между −180° и 180°.

w = 32∠135°n = 5k = 4

θ₄ = °

9.Дифференциальные уравненияСредняя

Чашку кофе температурой 93 °C оставили в комнате при 19 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). При k = 0,12 min⁻¹ найдите температуру T через 15 min.

T₀ = 93 °CT_a = 19 °Ck = 0,12 min⁻¹t = 15 min

T = °C

10.Дифференциальные уравненияСложная

Система подчиняется уравнению y″ + 3y′ + 27,25y = 272,5 при t ≥ 0, начиная из состояния покоя: y(0) = 0, y′(0) = 0. Найдите максимальное значение y_max её переходной характеристики.

y″ + 3y′ + 27,25y = 272,5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.Матрицы и определителиСредняя

Найдите определитель det A показанной матрицы 3×3 A.

A = [2 −1 −2; 5 0 2; −4 3 −5]

det A =

12.Матрицы и определителиСложная

Найдите большее собственное значение λ показанной матрицы A.

A = [−3 −1; 7 5]

λ =

13.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярную проекцию comp_b a вектора a = (−7, −6, −3) на b = (0, 2, −1), то есть компоненту a в направлении b.

a = (−7, −6, −3)b = (0, 2, −1)

comp_b a =

14.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Сила F = (10, 20, 40) N действует в точке A(−2, 2, −3). Координаты даны в метрах. Найдите z-компоненту M_z момента силы относительно точка O(0, −1, 2).

F = (10, 20, 40) NA(−2, 2, −3) mO(0, −1, 2) m

M_z = N·m

15.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 3 человек из группы из 8 человек? Порядок не важен.

n = 8k = 3

N =

16.ВероятностьСложная

В тесте 5 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,5, независимо. Какова вероятность P ровно 3 верных ответов?

n = 5p = 0,5k = 3

P =

17.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 37, 25, 56, 39, 57, 31, 52.

n = 7

s =

18.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений больше 160,4?

μ = 170σ = 12x = 160,4

P =

19.Нормальное распределениеСредняя

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений лежит между 57 и 73 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 65σ = 10x₁ = 57x₂ = 73

P =

20.Нормальное распределениеСложная

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 75 % значений (75-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 75%

x = g

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 0,3333

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = 2x/(√(9x² + 2x) + 3x)

Разделите на x

f(x) = 2/(√(9 + 2/x) + 3)

Пусть x → ∞

L = 2/(3 + 3) = 0,3333

Ответ

L = 0,3333

2.Пределы

Ответ: L = 1,125

Первое применение

(1,5·e^1,5x − 1,5)/(2x) → 0/0

Второе применение

2,25·e^1,5x/2

Подставьте x = 0

L = 2,25·1/2 = 1,125

Ответ

L = 1,125

3.Производные

Ответ: f′(0.5) = 1,104

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правила произведения и цепное

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Подставьте

f′(0,5) = 0,9975 + 1,5·0,07074 = 1,104

Ответ

f′(0,5) = 1,104

4.Производные

Ответ: b = −13

Точка и наклон

f(−2) = 13

f′(x) = 4x − 5 → f′(−2) = −13

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 13 − (−13)·(−2) = −13

Ответ

b = −13

5.Интегралы

Ответ: I = 1,099

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = ln x

Подставьте пределы

I = (ln 3 − ln 1) = ln 3 = 1,099

Ответ

I = 1,099

6.Интегралы

Ответ: A = 10,67

Нули

4 − x² = 0 → x = ±2

Интегрируйте

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Ответ

A = 10,67

7.Комплексные числа

Ответ: Re(w) = 5,638

Полярная форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, где r = |z| и θ = arg z. Обратно к алгебраической форме: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргумента нужна четверть: θ = atan(b/a) только при a > 0; при a < 0 прибавьте или вычтите 180°. В полярной форме умножение простое: перемножьте модули и сложите аргументы; при делении разделите модули и вычтите аргументы.

Модуль и аргумент w

|w| = 1,5 · 4 = 6

θ = 70° + (−50)° = 20°

Алгебраическая форма

Re(w) = 6·cos(20°) = 5,638

Im(w) = 6·sin(20°) = 2,052

Re(w) = 5,638

Ответ

Re(w) = 5,638

8.Комплексные числа

Ответ: θ₄ = −45 °

Формула Муавра и корни: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Уравнение zⁿ = R∠φ имеет ровно n корней, все с модулем R^1/n, при аргументах (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: они лежат равномерно на окружности, через 360°/n. Квадратное уравнение z² + pz + q = 0 при p² < 4q имеет комплексные корни z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен с действительными коэффициентами всегда имеет комплексные корни парами сопряжённых a ± jb.

Модуль корней

32^1/5 = 2

Аргумент корня

θ₄ = (135° + 360°·4)/5 = 315° → −45°

Аргумент

θ₄ = −45°

Ответ

θ₄ = −45°

5 корней лежат на окружности радиуса 2 с угловым шагом 72°.

9.Дифференциальные уравнения

Ответ: T = 31,23 °C

Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·e^kt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.

Решение закона охлаждения

T(t) = 19 + 74·e^−0,12t

Подставьте t

T(15) = 19 + 74·0,1653 = 31,23 °C

Ответ

T = 31,23 °C

10.Дифференциальные уравнения

Ответ: y_max = 13,9

Линейные уравнения второго порядка: для y″ + b·y′ + c·y = 0 ищите решение в виде y = e^rt: это даёт характеристическое уравнение r² + b·r + c = 0. Два различных вещественных корня r₁ ≠ r₂ дают y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (апериодический режим, передемпфированный); двойной корень r даёт y = (A + Bt)·e^rt (критическое затухание); комплексные корни −α ± jω дают y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (колебательный режим, недодемпфированный). Начальные значения y(0) и y′(0) определяют A и B. В записи y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 величина ω_n — собственная частота, а ζ — коэффициент демпфирования: при ζ < 1 возникают колебания. При постоянном входе y″ + by′ + cy = c·K решение равно установившемуся значению K плюс свободный отклик.

Установившееся значение и корни

y_ss = 10, r = −1,5 ± 5j

Константы по начальным значениям

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −1,5A + 5B = 0 → B = −3

Максимум

t = π/5 = 0,6283

y_max = 10·(1 + e^−1,5·π/5) = 13,9

Ответ

y_max = 13,9

11.Матрицы и определители

Ответ: det A = −59

Матрицы: определитель матрицы 2×2 равен ad − bc. Для 3×3 разложите по строке: каждый элемент умножается на определитель матрицы 2×2, оставшейся после вычёркивания его строки и столбца, с чередующимися знаками + − +. Собственные значения λ удовлетворяют det(A − λI) = 0; для 2×2 это λ² − (след)·λ + det = 0.

Миноры 2×2 первой строки

M₁₁ = −6, M₁₂ = −17, M₁₃ = 15

Разложение по строке

det A = 2·(−6) − (−1)·(−17) + (−2)·15 = −59

Ответ

det A = −59

12.Матрицы и определители

Ответ: λ = 4

Характеристическое уравнение

λ² − (2)λ + (−8) = 0

Решите

λ = (2 ± √(36))/2 → λ = −2, 4

λ = 4

Ответ

λ = 4

13.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: comp_b a = −4,025

Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ — скаляр. Оно позволяет найти угол между двумя векторами, cos θ = a·b/(|a|·|b|), и равно нулю, когда векторы перпендикулярны. Скалярная проекция a на b равна a·b/|b|, а постоянная сила F, перемещающая тело на d, совершает работу W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = (−7)·0 + (−6)·2 + (−3)·(−1) = −9

Длина b

|b| = √(0² + 2² + (−1)²) = 2,236

Скалярная проекция

comp_b a = a·b/|b| = −9/2,236 = −4,025

Ответ

comp_b a = −4,025

Отрицательная: у a есть компонента, направленная против b.

14.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: M_z = −70 N·m

Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) перпендикулярно обоим векторам, а |a × b| = |a|·|b|·sin θ — площадь параллелограмма, построенного на них (площадь треугольника вдвое меньше). Порядок важен: b × a = −(a × b). Момент силы F, приложенной в точке A, относительно точки O равен M_O = r × F, где r = A − O.

Радиус-вектор из O в A

r = A − O = (−2, 2, −3) − (0, −1, 2) = (−2, 3, −5) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 3·40 − (−5)·20 = 220 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−5)·10 − (−2)·40 = 30 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−2)·20 − 3·10 = −70 N·m

Искомая компонента

M_z = −70 N·m

Ответ

M_z = −70 N·m

15.Вероятность

Ответ: N = 56

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(8, 3) = (8·7·6)/(3·2·1) = 56

Ответ

N = 56

16.Вероятность

Ответ: P = 0,3125

Формула Бернулли

P(X = 3) = 10·0,5³·0,5² = 10·0,125·0,25 = 0,3125

Ответ

P = 0,3125

17.Описательная статистика

Ответ: s = 12,67

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 297/7 = 42,43

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−5,429)² + (−17,43)² + 13,57² + (−3,429)² + 14,57² + (−11,43)² + 9,571² = 963,7

Стандартное отклонение

s = √(963,7/6) = 12,67

Ответ

s = 12,67

18.Описательная статистика

Ответ: P = 0,7881

Стандартизуйте

z = −0,8

Таблица нормального распределения

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Ответ

P = 0,7881

19.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,5763

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (57 − 65)/10 = −0,8

z₂ = (73 − 65)/10 = 0,8

Площадь между

P = Φ(0,8) − Φ(−0,8) = 0,7881 − 0,2119 = 0,5763

Ответ

P = 0,5763

20.Нормальное распределение

Ответ: x = 253,4 g

z для процентиля

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Обратно к x

x = 250 + 0,6745·5 = 253,37 g

Ответ

x = 253,37 g

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics