Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В рандомизированном исследовании 740 пациентов получили новое лечение, а 830 получили контрольное лечение. В таблице показано, сколько в каждой группе имели исход (нежелательное событие, например инсульт). Найдите относительный риск RR события при лечении. Округлите до двух знаков после запятой.
лечение: 65/740контроль: 91/830
RR =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Проходят скрининг 10 000 человек тестом с чувствительностью 89% и специфичностью 92%. Распространённость заболевания 20%. Сколько людей с заболеванием тест пропускает (ложноотрицательные, FN)?
Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений больше 65?
μ = 50σ = 12x = 65
P =
5.Доверительные интервалыСредняя
Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 50 телефонов, среднее 123 h, известное стандартное отклонение 13 h. Модель 2: 60 телефонов, среднее 122,5 h, известное стандартное отклонение 6 h. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 27. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?
σ = 27E = 1,595%
n =
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 81 студентов имеет средний балл 74,38 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 74,38s = 4n = 81
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
В исследовании выздоравливают 50 из 100 пациентов, получавших лечение A, и 92 из 150 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 50n₁ = 100x₂ = 92n₂ = 150
z =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: RR = 0,8
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Частота событий
EER = 65/740 = 0,08784
CER = 91/830 = 0,1096
Относительный риск
RR = 0,08784/0,1096 = 0,8012 ≈ 0,8
Ответ
RR = 0,8
2.Статистика доказательной практики
Ответ: FN = 220
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
С заболеванием и без него
10 000·0,2 = 2000
10 000 − 2000 = 8000
Ложноотрицательные
FN = 2000·0,11 = 220
Ответ
FN = 220
3.Описательная статистика
Ответ: s = 19,76
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 1,25
Таблица нормального распределения
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Ответ
P = 0,1056
5.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 5,639 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точечная оценка
x̄₁ − x̄₂ = 123 − 122,5 = 0,5
Стандартная ошибка
SE = √(13²/50 + 6²/60) = 1,995
Предельная ошибка
E = 2,576·1,995 = 5,139
Интервал
0,5 ± 5,139 → [−4,639, 5,639]
Ответ
верхняя граница = 5,639 h
Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.
6.Доверительные интервалы
Ответ: n = 1245
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,96·27/1,5)² = 1245
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 1245
Ответ
n = 1245
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −1,395
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444
Статистика критерия
t = (74,38 − 75)/0,4444 = −1,395
Ответ
t = −1,395
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = −1,772
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Выборочные доли
p̂₁ = 50/100 = 0,5
p̂₂ = 92/150 = 0,6133
p̂ = 142/250 = 0,568
Стандартная ошибка при H₀
SE = √(0,568·0,432·(1/100 + 1/150)) = 0,06395
Статистика критерия
z = (0,5 − 0,6133)/0,06395 = −1,772
Ответ
z = −1,772
|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).