Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В рандомизированном исследовании 890 пациентов получили новое лечение, а 890 получили контрольное лечение. В таблице показано, сколько в каждой группе имели побочный эффект. Найдите число пациентов, при лечении которых возникает один вред, NNH: сколько пациентов нужно лечить, чтобы у одного дополнительного пациента возник побочный эффект? Округлите вверх до целого числа пациентов.
лечение: 423/890контроль: 169/890
NNH =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Лечение снижает риск события на 31% в относительном выражении (RRR = 31%). В группе пациентов риск без лечения (CER) за пять лет составляет 39%. Найдите число пациентов, которых необходимо лечить, NNT в течение пяти лет, чтобы предотвратить одно событие. Округлите вверх до целого числа пациентов.
Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 10. Какая доля P значений меньше 182,5?
μ = 170σ = 10x = 182,5
P =
5.Доверительные интервалыСредняя
99 % доверительный интервал для среднего, построенный по 36 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 7,5. Какой будет предельная ошибка E₂ 95 % интервала по тем же данным?
99%n₁ = 36E₁ = 7,595%
E₂ =
6.Доверительные интервалыСложная
Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 7 участков, средний урожай 40 kg, стандартное отклонение 3,5 kg. Группа участков 2: 9 участков, среднее 34,5 kg, стандартное отклонение 6,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 64 студентов имеет средний балл 122,3 и выборочное стандартное отклонение 15. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 122,3s = 15n = 64
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий для H₀: μ = 200 против H₁: μ > 200 проводится при α = 0,05 по выборке объёмом 25; стандартное отклонение известно и равно 7,5. В действительности среднее равно 205,25. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.
μ₀ = 200μ = 205,25σ = 7,5n = 25α = 0,05
β = %
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: NNH = 4
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Частота событий
EER = 423/890 = 0,4753
CER = 169/890 = 0,1899
Число пациентов, при лечении которых возникает один вред (NNH)
ARI = 0,4753 − 0,1899 = 0,2854
NNH = 1/0,2854 = 3,504 → 4
Ответ
NNH = 4
Примерно у одного из каждых 4 леченых пациентов побочный эффект возникает из-за лечения.
2.Статистика доказательной практики
Ответ: NNT = 9
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Абсолютное снижение риска
ARR = 0,39·0,31 = 0,1209
Число пациентов, которых необходимо лечить (NNT)
NNT = 1/0,1209 = 8,271 → 9
Ответ
NNT = 9
Один и тот же относительный эффект даёт меньший NNT при более высоком исходном риске.
3.Описательная статистика
Ответ: s = 9,633
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 1,25
Таблица нормального распределения
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Ответ
P = 0,8944
5.Доверительные интервалы
Ответ: E₂ = 5,707
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Отношение предельных ошибок
E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(36/36) = 0,7609
Новая предельная ошибка
E₂ = 7,5·0,7609 = 5,707
Ответ
E₂ = 5,707
6.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 0,6886 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Объединённое стандартное отклонение
sp² = (6·3,5² + 8·6,5²)/14 = 29,39
sp = 5,422
Предельная ошибка
E = 1,761·5,422·√(1/7 + 1/9) = 4,811
Интервал
5,5 ± 4,811 → [0,6886, 10,31]
Ответ
нижняя граница = 0,6886 kg
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 1,227
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875
Статистика критерия
t = (122,3 − 120)/1,875 = 1,227
Ответ
t = 1,227
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: β = 3,18 %
Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).