Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В исследовании «случай—контроль» сравнивают 250 пациентов с заболеванием (случаи) и 140 людей без него (контроли). В таблице показано, сколько в каждой группе подвергались воздействию фактора риска. Найдите отношение шансов OR для воздействия. Округлите до двух знаков после запятой.
a = 139b = 62c = 111d = 78
OR =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). У пациента вероятность заболевания до теста составляет 10%. Тест с чувствительностью 65% и специфичностью 63% даёт результат: положительна. Найдите вероятность заболевания после теста p′ в процентах. Округлите до одного знака после запятой.
Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений больше 188?
μ = 170σ = 12x = 188
P =
5.Доверительные интервалыСредняя
Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 30 телефонов, среднее 83,5 h, известное стандартное отклонение 8 h. Модель 2: 40 телефонов, среднее 96,5 h, известное стандартное отклонение 8 h. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 4. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 0,5?
σ = 4E = 0,599%
n =
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 49 студентов имеет средний балл 504,9 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 504,9s = 20n = 49
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
В исследовании выздоравливают 45 из 300 пациентов, получавших лечение A, и 38 из 150 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 45n₁ = 300x₂ = 38n₂ = 150
z =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: OR = 1,58
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Шансы воздействия
случаи: 139/111 = 1,252
контроли: 62/78 = 0,7949
Отношение шансов
OR = (139·78)/(62·111) = 1,575 ≈ 1,58
Ответ
OR = 1,58
OR выше 1: воздействие чаще встречается среди случаев.
2.Статистика доказательной практики
Ответ: p′ = 16,3 %
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Отношение правдоподобия
LR+ = 0,65/(1 − 0,63) = 1,757
Шансы до теста
0,1/(1 − 0,1) = 0,1111
Шансы после теста
0,1111·1,757 = 0,1952
Вероятность после теста
p′ = 0,1952/(1 + 0,1952) = 0,1633 ≈ 16,3%
Ответ
p′ = 16,3%
3.Описательная статистика
Ответ: s = 9,402
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 1,5
Таблица нормального распределения
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Ответ
P = 0,06681
5.Доверительные интервалы
Ответ: E = 3,178 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точечная оценка
x̄₁ − x̄₂ = 83,5 − 96,5 = −13
Стандартная ошибка
SE = √(8²/30 + 8²/40) = 1,932
Предельная ошибка
E = 1,645·1,932 = 3,178
Ответ
E = 3,178 h
Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.
6.Доверительные интервалы
Ответ: n = 425
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (2,576·4/0,5)² = 424,7
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 425
Ответ
n = 425
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 1,715
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 20/√49 = 20/7 = 2,857
Статистика критерия
t = (504,9 − 500)/2,857 = 1,715
Ответ
t = 1,715
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = −2,664
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Выборочные доли
p̂₁ = 45/300 = 0,15
p̂₂ = 38/150 = 0,2533
p̂ = 83/450 = 0,1844
Стандартная ошибка при H₀
SE = √(0,1844·0,8156·(1/300 + 1/150)) = 0,03878
Статистика критерия
z = (0,15 − 0,2533)/0,03878 = −2,664
Ответ
z = −2,664
|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).