Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В исследовании «случай—контроль» сравнивают 70 пациентов с заболеванием (случаи) и 170 людей без него (контроли). В таблице показано, сколько в каждой группе подвергались воздействию фактора риска. Найдите отношение шансов OR для воздействия. Округлите до двух знаков после запятой.
a = 16b = 71c = 54d = 99
OR =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Скрининговый тест имеет чувствительность 72% и специфичность 89%. Он применяется в популяции с распространённостью 3%. Найдите прогностическую ценность положительного результата PPV в процентах. Округлите до одного знака после запятой.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 60 и стандартным отклонением 15. Найдите z-оценку z для результата 90.
μ = 60σ = 15x = 90
z =
5.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 15 элементов имеет среднее 120 и стандартное отклонение s = 15,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.
n = 15x̄ = 120s = 15,599%t(14) = 2,977
верхняя граница =
6.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 18. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 3?
σ = 18E = 395%
n =
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
11 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна −1,54, стандартное отклонение разностей — 5,1. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.
n = 11d̄ = −1,54sd = 5,1
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
В исследовании выздоравливают 60 из 300 пациентов, получавших лечение A, и 39 из 300 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 60n₁ = 300x₂ = 39n₂ = 300
z =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: OR = 0,41
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Шансы воздействия
случаи: 16/54 = 0,2963
контроли: 71/99 = 0,7172
Отношение шансов
OR = (16·99)/(71·54) = 0,4131 ≈ 0,41
Ответ
OR = 0,41
OR ниже 1: воздействие реже встречается среди случаев, что говорит о защитном эффекте.
2.Статистика доказательной практики
Ответ: PPV = 16,8 %
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Чем ниже распространённость, тем ниже PPV того же теста.
3.Описательная статистика
Ответ: s = 15,76
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (90 − 60)/15 = 2
Ответ
z = 2
5.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 131,9
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 14, t = 2,977
Предельная ошибка
E = 2,977·15,5/√15 = 11,91
Интервал
120 ± 11,91 → [108,1, 131,9]
Ответ
верхняя граница = 131,9
6.Доверительные интервалы
Ответ: n = 139
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,96·18/3)² = 138,3
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 139
Ответ
n = 139
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −1,001
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартная ошибка средней разности
SE = 5,1/√11 = 1,538
Статистика критерия
t = −1,54/1,538 = −1,001
Ответ
t = −1,001
При df = 10 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,228; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = 2,31
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Выборочные доли
p̂₁ = 60/300 = 0,2
p̂₂ = 39/300 = 0,13
p̂ = 99/600 = 0,165
Стандартная ошибка при H₀
SE = √(0,165·0,835·(1/300 + 1/300)) = 0,03031
Статистика критерия
z = (0,2 − 0,13)/0,03031 = 2,31
Ответ
z = 2,31
|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).