Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В исследовании «случай—контроль» сравнивают 110 пациентов с заболеванием (случаи) и 660 людей без него (контроли). В таблице показано, сколько в каждой группе подвергались воздействию фактора риска. Найдите отношение шансов OR для воздействия. Округлите до двух знаков после запятой.
a = 82b = 323c = 28d = 337
OR =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). У пациента вероятность заболевания до теста составляет 5%. Тест с чувствительностью 64% и специфичностью 93% даёт результат: отрицательна. Найдите вероятность заболевания после теста p′ в процентах. Округлите до одного знака после запятой.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 10. Найдите z-оценку z для результата 158.
μ = 170σ = 10x = 158
z =
5.Доверительные интервалыСредняя
Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 60 телефонов, среднее 143 h, известное стандартное отклонение 11 h. Модель 2: 50 телефонов, среднее 140,5 h, известное стандартное отклонение 18 h. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
Диаметры 20 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 5,7 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 19 2,5 % распределения χ² лежит ниже 8,907 и 2,5 % — выше 32,852.
n = 20s = 5,7 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 25 студентов имеет средний балл 70,04 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 70,04s = 8n = 25
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий для H₀: μ = 80 против H₁: μ > 80 проводится при α = 0,05 по выборке объёмом 64; стандартное отклонение известно и равно 20. В действительности среднее равно 87,5. Найдите мощность 1 − β критерия в процентах.
μ₀ = 80μ = 87,5σ = 20n = 64α = 0,05
1 − β = %
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: OR = 3,06
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Шансы воздействия
случаи: 82/28 = 2,929
контроли: 323/337 = 0,9585
Отношение шансов
OR = (82·337)/(323·28) = 3,056 ≈ 3,06
Ответ
OR = 3,06
OR выше 1: воздействие чаще встречается среди случаев.
2.Статистика доказательной практики
Ответ: p′ = 2 %
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Отношение правдоподобия
LR− = (1 − 0,64)/0,93 = 0,3871
Шансы до теста
0,05/(1 − 0,05) = 0,05263
Шансы после теста
0,05263·0,3871 = 0,02037
Вероятность после теста
p′ = 0,02037/(1 + 0,02037) = 0,01997 ≈ 2%
Ответ
p′ = 2%
3.Описательная статистика
Ответ: s = 20,05
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (158 − 170)/10 = −1,2
Ответ
z = −1,2
5.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 10,01 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точечная оценка
x̄₁ − x̄₂ = 143 − 140,5 = 2,5
Стандартная ошибка
SE = √(11²/60 + 18²/50) = 2,915
Предельная ошибка
E = 2,576·2,915 = 7,509
Интервал
2,5 ± 7,509 → [−5,009, 10,01]
Ответ
верхняя граница = 10,01 h
Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.
6.Доверительные интервалы
Ответ: σ = 8,325 µm
Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.
Сумма квадратов
(n − 1)s² = 19·5,7² = 617,3
Границы для σ²
617,3/32,852 = 18,79
617,3/8,907 = 69,31
Граница для σ
σ = √69,31 = 8,325 µm
Ответ
σ = 8,325 µm
95 % интервал для σ: [4,335, 8,325] µm.
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −3,1
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6
Статистика критерия
t = (70,04 − 75)/1,6 = −3,1
Ответ
t = −3,1
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: 1 − β = 91,23 %
Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).