Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В исследовании новый тест сравнивали с референсным стандартом (см. таблицу 2 × 2). Найдите положительное отношение правдоподобия LR+. Округлите до двух знаков после запятой.
a = 314b = 69c = 16d = 1081
LR+ =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). У пациента вероятность заболевания до теста составляет 20%. Тест с чувствительностью 66% и специфичностью 66% даёт результат: отрицательна. Найдите вероятность заболевания после теста p′ в процентах. Округлите до одного знака после запятой.
Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений больше 42,5?
μ = 50σ = 5x = 42,5
P =
5.Доверительные интервалыСредняя
Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 50 телефонов, среднее 118,5 h, известное стандартное отклонение 20 h. Модель 2: 60 телефонов, среднее 107 h, известное стандартное отклонение 17 h. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
Диаметры 10 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 4,3 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 9 2,5 % распределения χ² лежит ниже 2,7 и 2,5 % — выше 19,023.
n = 10s = 4,3 µmχ² = 2,7, 19,023
σ = µm
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 50; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 8. Случайная выборка из 64 наблюдений имеет среднее 48,32. Проверьте H₀: μ = 50 против H₁: μ < 50. Найдите p-значение p.
μ₀ = 50σ = 8n = 64x̄ = 48,32H₁: μ < μ₀
p =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий для H₀: μ = 80 против H₁: μ > 80 проводится при α = 0,10 по выборке объёмом 100; стандартное отклонение известно и равно 15. В действительности среднее равно 83,6. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.
μ₀ = 80μ = 83,6σ = 15n = 100α = 0,10
β = %
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: LR+ = 15,86
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Чувствительность и специфичность
Se = 314/330 = 0,9515
Sp = 1081/1150 = 0,94
Положительное отношение правдоподобия
LR+ = 0,9515/(1 − 0,94) = 15,86
Ответ
LR+ = 15,86
2.Статистика доказательной практики
Ответ: p′ = 11,4 %
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Отношение правдоподобия
LR− = (1 − 0,66)/0,66 = 0,5152
Шансы до теста
0,2/(1 − 0,2) = 0,25
Шансы после теста
0,25·0,5152 = 0,1288
Вероятность после теста
p′ = 0,1288/(1 + 0,1288) = 0,1141 ≈ 11,4%
Ответ
p′ = 11,4%
3.Описательная статистика
Ответ: s = 17,28
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −1,5
Таблица нормального распределения
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Ответ
P = 0,9332
5.Доверительные интервалы
Ответ: E = 9,222 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точечная оценка
x̄₁ − x̄₂ = 118,5 − 107 = 11,5
Стандартная ошибка
SE = √(20²/50 + 17²/60) = 3,58
Предельная ошибка
E = 2,576·3,58 = 9,222
Ответ
E = 9,222 h
Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.
6.Доверительные интервалы
Ответ: σ = 2,958 µm
Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.
Сумма квадратов
(n − 1)s² = 9·4,3² = 166,4
Границы для σ²
166,4/19,023 = 8,748
166,4/2,7 = 61,63
Граница для σ
σ = √8,748 = 2,958 µm
Ответ
σ = 2,958 µm
95 % интервал для σ: [2,958, 7,851] µm.
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: p = 0,04648
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерия
SE = σ/√n = 8/√64 = 1
z = (48,32 − 50)/1 = −1,68
Площадь хвоста
Φ(1,68) = 0,9535
1 − Φ(1,68) = 0,0465
p-значение
p = 0,04648
Ответ
p = 0,04648
p ≤ 0,05, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 %.
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: β = 13,18 %
Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).