Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В когортном исследовании подвергавшиеся воздействию люди дали 7900 человеко-лет и 126 новых случаев, а не подвергавшиеся — 4200 человеко-лет и 17 новых случаев. Найдите отношение показателей заболеваемости IRR (подвергавшиеся против не подвергавшихся). Округлите до двух знаков после запятой.
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). У пациента вероятность заболевания до теста составляет 15%. Тест с чувствительностью 80% и специфичностью 67% даёт результат: отрицательна. Найдите вероятность заболевания после теста p′ в процентах. Округлите до одного знака после запятой.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 25. Найдите z-оценку z для результата 487,5.
μ = 500σ = 25x = 487,5
z =
5.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 7 элементов имеет среднее 40 и стандартное отклонение s = 12. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.
n = 7x̄ = 40s = 1290%t(6) = 1,943
верхняя граница =
6.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 32. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 5?
σ = 32E = 599%
n =
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 16 студентов имеет средний балл 58,5 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 58,5s = 20n = 16
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
В исследовании выздоравливают 42 из 120 пациентов, получавших лечение A, и 118 из 250 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 42n₁ = 120x₂ = 118n₂ = 250
z =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: IRR = 3,94
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Показатели заболеваемости
подвергались воздействию: 126/7900 = 15,95 на 1000 человеко-лет
не подвергались воздействию: 17/4200 = 4,048 на 1000 человеко-лет
Отношение показателей
IRR = 15,95/4,048 = 3,94
Ответ
IRR = 3,94
2.Статистика доказательной практики
Ответ: p′ = 5 %
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Отношение правдоподобия
LR− = (1 − 0,8)/0,67 = 0,2985
Шансы до теста
0,15/(1 − 0,15) = 0,1765
Шансы после теста
0,1765·0,2985 = 0,05268
Вероятность после теста
p′ = 0,05268/(1 + 0,05268) = 0,05004 ≈ 5%
Ответ
p′ = 5%
3.Описательная статистика
Ответ: s = 13,25
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (487,5 − 500)/25 = −0,5
Ответ
z = −0,5
5.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 48,81
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 6, t = 1,943
Предельная ошибка
E = 1,943·12/√7 = 8,813
Интервал
40 ± 8,813 → [31,19, 48,81]
Ответ
верхняя граница = 48,81
6.Доверительные интервалы
Ответ: n = 272
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (2,576·32/5)² = 271,8
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 272
Ответ
n = 272
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 1,7
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 20/√16 = 20/4 = 5
Статистика критерия
t = (58,5 − 50)/5 = 1,7
Ответ
t = 1,7
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = −2,217
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Выборочные доли
p̂₁ = 42/120 = 0,35
p̂₂ = 118/250 = 0,472
p̂ = 160/370 = 0,4324
Стандартная ошибка при H₀
SE = √(0,4324·0,5676·(1/120 + 1/250)) = 0,05502
Статистика критерия
z = (0,35 − 0,472)/0,05502 = −2,217
Ответ
z = −2,217
|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).