Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В исследовании «случай—контроль» сравнивают 230 пациентов с заболеванием (случаи) и 350 людей без него (контроли). В таблице показано, сколько в каждой группе подвергались воздействию фактора риска. Найдите отношение шансов OR для воздействия. Округлите до двух знаков после запятой.
a = 171b = 172c = 59d = 178
OR =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Скрининговый тест имеет чувствительность 90% и специфичность 80%. Он применяется в популяции с распространённостью 20%. Найдите прогностическую ценность положительного результата PPV в процентах. Округлите до одного знака после запятой.
Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений больше 85?
μ = 70σ = 12x = 85
P =
5.Доверительные интервалыСредняя
У 13 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 8 и стандартное отклонение 4,1. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для средней разности.
n = 13d̄ = 8sd = 4,190%t(12) = 1,782
верхняя граница = mmHg
6.Доверительные интервалыСложная
Диаметры 11 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 4,5 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 10 2,5 % распределения χ² лежит ниже 3,247 и 2,5 % — выше 20,483.
n = 11s = 4,5 µmχ² = 3,247, 20,483
σ = µm
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 50; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 30. Случайная выборка из 100 наблюдений имеет среднее 54,44. Проверьте H₀: μ = 50 против H₁: μ ≠ 50. Найдите p-значение p.
μ₀ = 50σ = 30n = 100x̄ = 54,44H₁: μ ≠ μ₀
p =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Какой должна быть выборка, чтобы 99 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 3? Стандартное отклонение — 5. Найдите наименьший объём выборки n.
σ = 5E = 399%
n =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: OR = 3
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Шансы воздействия
случаи: 171/59 = 2,898
контроли: 172/178 = 0,9663
Отношение шансов
OR = (171·178)/(172·59) = 2,999 ≈ 3
Ответ
OR = 3
OR выше 1: воздействие чаще встречается среди случаев.
2.Статистика доказательной практики
Ответ: PPV = 52,9 %
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Чем ниже распространённость, тем ниже PPV того же теста.
3.Описательная статистика
Ответ: s = 17,84
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 1,25
Таблица нормального распределения
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Ответ
P = 0,1056
5.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 10,03 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критическое значение
df = 12, t = 1,782
Предельная ошибка
E = 1,782·4,1/√13 = 2,026
Интервал
8 ± 2,026 → [5,974, 10,03]
Ответ
верхняя граница = 10,03 mmHg
6.Доверительные интервалы
Ответ: σ = 3,144 µm
Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.
Сумма квадратов
(n − 1)s² = 10·4,5² = 202,5
Границы для σ²
202,5/20,483 = 9,886
202,5/3,247 = 62,37
Граница для σ
σ = √9,886 = 3,144 µm
Ответ
σ = 3,144 µm
95 % интервал для σ: [3,144, 7,897] µm.
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: p = 0,1389
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерия
SE = σ/√n = 30/√100 = 3
z = (54,44 − 50)/3 = 1,48
Площадь хвоста
Φ(1,48) = 0,9306
1 − Φ(1,48) = 0,0694
p-значение
p = 2·0,0694 = 0,1389
Ответ
p = 0,1389
p > 0,05, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 %.
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 19
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).