Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Тест имеет чувствительность 93% и специфичность 63%. Найдите отрицательное отношение правдоподобия LR−. Округлите до двух знаков после запятой.
Se = 93%Sp = 63%
LR− =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Проходят скрининг 10 000 человек тестом с чувствительностью 89% и специфичностью 84%. Распространённость заболевания 16%. Сколько ложноположительных результатов FP ожидается?
Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 10. Какая доля P значений больше 48?
μ = 60σ = 10x = 48
P =
5.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 15 элементов имеет среднее 88,5 и стандартное отклонение s = 4. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для среднего.
n = 15x̄ = 88,5s = 499%t(14) = 2,977
E =
6.Доверительные интервалыСложная
Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,4 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 90 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,04?
p ≈ 0,4E = 0,0490%
n =
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
11 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна −2,58, стандартное отклонение разностей — 4,5. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.
n = 11d̄ = −2,58sd = 4,5
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий для H₀: μ = 100 против H₁: μ > 100 проводится при α = 0,05 по выборке объёмом 100; стандартное отклонение известно и равно 25. В действительности среднее равно 105,25. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.
μ₀ = 100μ = 105,25σ = 25n = 100α = 0,05
β = %
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: LR− = 0,11
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Отрицательное отношение правдоподобия
LR− = (1 − 0,93)/0,63 = 0,1111 ≈ 0,11
Ответ
LR− = 0,11
2.Статистика доказательной практики
Ответ: FP = 1344
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
С заболеванием и без него
10 000·0,16 = 1600
10 000 − 1600 = 8400
Ложноположительные
FP = 8400·0,16 = 1344
Ответ
FP = 1344
Из 2768 положительных результатов только 1424 относятся к больным (PPV 51,4%).
3.Описательная статистика
Ответ: s = 20,21
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −1,2
Таблица нормального распределения
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Ответ
P = 0,8849
5.Доверительные интервалы
Ответ: E = 3,075
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 14, t = 2,977
Предельная ошибка
E = 2,977·4/√15 = 3,075
Ответ
E = 3,075
6.Доверительные интервалы
Ответ: n = 406
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Выразите n
n = 1,645²·0,4·0,6/0,04² = 405,9
Округлите вверх
n = 406
Ответ
n = 406
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −1,902
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартная ошибка средней разности
SE = 4,5/√11 = 1,357
Статистика критерия
t = −2,58/1,357 = −1,902
Ответ
t = −1,902
При df = 10 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,228; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: β = 32,46 %
Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).