Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В рандомизированном исследовании 860 пациентов получили новое лечение, а 570 получили контрольное лечение. В таблице показано, сколько в каждой группе имели исход (нежелательное событие, например инсульт). Найдите относительное снижение риска RRR в процентах. Округлите до одного знака после запятой.
лечение: 65/860контроль: 86/570
RRR = %
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Проходят скрининг 10 000 человек тестом с чувствительностью 98% и специфичностью 80%. Распространённость заболевания 1%. Сколько всего положительных результатов n₊ ожидается?
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 25. Найдите z-оценку z для результата 515.
μ = 500σ = 25x = 515
z =
5.Доверительные интервалыСредняя
У 9 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 5,8 и стандартное отклонение 7,1. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для средней разности.
n = 9d̄ = 5,8sd = 7,190%t(8) = 1,86
E = mmHg
6.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 33. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?
σ = 33E = 195%
n =
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 100 студентов имеет средний балл 51,45 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 51,45s = 5n = 100
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
В исследовании выздоравливают 30 из 120 пациентов, получавших лечение A, и 42 из 250 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 30n₁ = 120x₂ = 42n₂ = 250
z =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: RRR = 49,9 %
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Частота событий
EER = 65/860 = 0,07558
CER = 86/570 = 0,1509
Относительное снижение риска
ARR = 0,1509 − 0,07558 = 0,0753
RRR = 0,0753/0,1509 = 0,4991 ≈ 49,9%
Ответ
RRR = 49,9%
2.Статистика доказательной практики
Ответ: n₊ = 2078
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
С заболеванием и без него
10 000·0,01 = 100
10 000 − 100 = 9900
Все положительные результаты
TP = 100·0,98 = 98
FP = 9900·0,2 = 1980
n₊ = 98 + 1980 = 2078
Ответ
n₊ = 2078
Из 2078 положительных результатов только 98 относятся к больным (PPV 4,7%).
3.Описательная статистика
Ответ: s = 9,072
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (515 − 500)/25 = 0,6
Ответ
z = 0,6
5.Доверительные интервалы
Ответ: E = 4,402 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критическое значение
df = 8, t = 1,86
Предельная ошибка
E = 1,86·7,1/√9 = 4,402
Ответ
E = 4,402 mmHg
6.Доверительные интервалы
Ответ: n = 4184
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,96·33/1)² = 4184
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 4184
Ответ
n = 4184
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 2,9
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 5/√100 = 5/10 = 0,5
Статистика критерия
t = (51,45 − 50)/0,5 = 2,9
Ответ
t = 2,9
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = 1,865
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Выборочные доли
p̂₁ = 30/120 = 0,25
p̂₂ = 42/250 = 0,168
p̂ = 72/370 = 0,1946
Стандартная ошибка при H₀
SE = √(0,1946·0,8054·(1/120 + 1/250)) = 0,04397
Статистика критерия
z = (0,25 − 0,168)/0,04397 = 1,865
Ответ
z = 1,865
|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).