Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Тест имеет чувствительность 82% и специфичность 78%. Найдите положительное отношение правдоподобия LR+. Округлите до двух знаков после запятой.
Se = 82%Sp = 78%
LR+ =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). У пациента вероятность заболевания до теста составляет 5%. Тест с чувствительностью 87% и специфичностью 79% даёт результат: положительна. Найдите вероятность заболевания после теста p′ в процентах. Округлите до одного знака после запятой.
Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений меньше 152?
μ = 170σ = 12x = 152
P =
5.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 11 элементов имеет среднее 21 и стандартное отклонение s = 1,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.
n = 11x̄ = 21s = 1,590%t(10) = 1,812
нижняя граница =
6.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 16. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 2?
σ = 16E = 295%
n =
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 5 студентов, средний балл 63, стандартное отклонение 8. Группа 2: 9 студентов, средний балл 77,5, стандартное отклонение 7,5. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).
n₁ = 5x̄₁ = 63s₁ = 8n₂ = 9x̄₂ = 77,5s₂ = 7,5
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий для H₀: μ = 100 против H₁: μ < 100 проводится при α = 0.01 по выборке объёмом 100; стандартное отклонение известно и равно 30. В действительности среднее равно 93.1. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.
μ₀ = 100μ = 93,1σ = 30n = 100α = 0,01
β = %
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: LR+ = 3,73
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Положительное отношение правдоподобия
LR+ = 0,82/(1 − 0,78) = 3,727 ≈ 3,73
Ответ
LR+ = 3,73
2.Статистика доказательной практики
Ответ: p′ = 17,9 %
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Отношение правдоподобия
LR+ = 0,87/(1 − 0,79) = 4,143
Шансы до теста
0,05/(1 − 0,05) = 0,05263
Шансы после теста
0,05263·4,143 = 0,218
Вероятность после теста
p′ = 0,218/(1 + 0,218) = 0,179 ≈ 17,9%
Ответ
p′ = 17,9%
3.Описательная статистика
Ответ: s = 15,69
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −1,5
Таблица нормального распределения
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Ответ
P = 0,06681
5.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 20,18
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 10, t = 1,812
Предельная ошибка
E = 1,812·1,5/√11 = 0,8195
Интервал
21 ± 0,8195 → [20,18, 21,82]
Ответ
нижняя граница = 20,18
6.Доверительные интервалы
Ответ: n = 246
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,96·16/2)² = 245,9
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 246
Ответ
n = 246
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −3,389
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Объединённая дисперсия
sp² = (4·8² + 8·7,5²)/12 = 58,83
sp = 7,67
Стандартная ошибка
SE = 7,67·√(1/5 + 1/9) = 4,278
Статистика критерия
t = (63 − 77,5)/4,278 = −3,389
Ответ
t = −3,389
При df = 12 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,179; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: β = 51,04 %
Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).