Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Тест имеет чувствительность 65% и специфичность 81%. Найдите отрицательное отношение правдоподобия LR−. Округлите до двух знаков после запятой.
Se = 65%Sp = 81%
LR− =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Скрининговый тест имеет чувствительность 92% и специфичность 97%. Он применяется в популяции с распространённостью 3%. Найдите прогностическую ценность положительного результата PPV в процентах. Округлите до одного знака после запятой.
Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений меньше 80?
μ = 70σ = 8x = 80
P =
5.Доверительные интервалыСредняя
Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 60 телефонов, среднее 71,5 h, известное стандартное отклонение 13 h. Модель 2: 60 телефонов, среднее 58 h, известное стандартное отклонение 19 h. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 27. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?
σ = 27E = 490%
n =
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 7 студентов, средний балл 107,5, стандартное отклонение 2. Группа 2: 24 студентов, средний балл 111,6, стандартное отклонение 7. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).
n₁ = 7x̄₁ = 107,5s₁ = 2n₂ = 24x̄₂ = 111,6s₂ = 7
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
В исследовании выздоравливают 50 из 250 пациентов, получавших лечение A, и 45 из 300 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 50n₁ = 250x₂ = 45n₂ = 300
z =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: LR− = 0,43
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Отрицательное отношение правдоподобия
LR− = (1 − 0,65)/0,81 = 0,4321 ≈ 0,43
Ответ
LR− = 0,43
2.Статистика доказательной практики
Ответ: PPV = 48,7 %
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Чем ниже распространённость, тем ниже PPV того же теста.
3.Описательная статистика
Ответ: s = 19,08
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 1,25
Таблица нормального распределения
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Ответ
P = 0,8944
5.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 19,33 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точечная оценка
x̄₁ − x̄₂ = 71,5 − 58 = 13,5
Стандартная ошибка
SE = √(13²/60 + 19²/60) = 2,972
Предельная ошибка
E = 1,96·2,972 = 5,825
Интервал
13,5 ± 5,825 → [7,675, 19,33]
Ответ
верхняя граница = 19,33 h
Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.
6.Доверительные интервалы
Ответ: n = 124
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,645·27/4)² = 123,3
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 124
Ответ
n = 124
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −1,515
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Объединённая дисперсия
sp² = (6·2² + 23·7²)/29 = 39,69
sp = 6,3
Стандартная ошибка
SE = 6,3·√(1/7 + 1/24) = 2,706
Статистика критерия
t = (107,5 − 111,6)/2,706 = −1,515
Ответ
t = −1,515
При df = 29 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,045; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = 1,545
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Выборочные доли
p̂₁ = 50/250 = 0,2
p̂₂ = 45/300 = 0,15
p̂ = 95/550 = 0,1727
Стандартная ошибка при H₀
SE = √(0,1727·0,8273·(1/250 + 1/300)) = 0,03237
Статистика критерия
z = (0,2 − 0,15)/0,03237 = 1,545
Ответ
z = 1,545
|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).