Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В исследовании новый тест сравнивали с референсным стандартом (см. таблицу 2 × 2). Найдите положительное отношение правдоподобия LR+. Округлите до двух знаков после запятой.
a = 218b = 70c = 102d = 400
LR+ =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Проходят скрининг 10 000 человек тестом с чувствительностью 71% и специфичностью 77%. Распространённость заболевания 18%. Сколько всего положительных результатов n₊ ожидается?
Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений больше 47,5?
μ = 50σ = 5x = 47,5
P =
5.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 21 элементов имеет среднее 44,5 и стандартное отклонение s = 13,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.
n = 21x̄ = 44,5s = 13,599%t(20) = 2,845
нижняя граница =
6.Доверительные интервалыСложная
Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 9 участков, средний урожай 95 kg, стандартное отклонение 1,5 kg. Группа участков 2: 7 участков, среднее 91 kg, стандартное отклонение 6 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 250; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 12. Случайная выборка из 36 наблюдений имеет среднее 254,56. Проверьте H₀: μ = 250 против H₁: μ ≠ 250. Найдите p-значение p.
μ₀ = 250σ = 12n = 36x̄ = 254,56H₁: μ ≠ μ₀
p =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий при α = 0,01 должен обнаруживать сдвиг среднего на 4 единиц с мощностью 80 %. Стандартное отклонение равно 8. Найдите минимальный объём выборки n.
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Чувствительность и специфичность
Se = 218/320 = 0,6813
Sp = 400/470 = 0,8511
Положительное отношение правдоподобия
LR+ = 0,6813/(1 − 0,8511) = 4,574 ≈ 4,57
Ответ
LR+ = 4,57
2.Статистика доказательной практики
Ответ: n₊ = 3164
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
С заболеванием и без него
10 000·0,18 = 1800
10 000 − 1800 = 8200
Все положительные результаты
TP = 1800·0,71 = 1278
FP = 8200·0,23 = 1886
n₊ = 1278 + 1886 = 3164
Ответ
n₊ = 3164
Из 3164 положительных результатов только 1278 относятся к больным (PPV 40,4%).
3.Описательная статистика
Ответ: s = 18,88
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −0,5
Таблица нормального распределения
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Ответ
P = 0,6915
5.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 36,12
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 20, t = 2,845
Предельная ошибка
E = 2,845·13,5/√21 = 8,381
Интервал
44,5 ± 8,381 → [36,12, 52,88]
Ответ
нижняя граница = 36,12
6.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 10,13 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Объединённое стандартное отклонение
sp² = (8·1,5² + 6·6²)/14 = 16,71
sp = 4,088
Предельная ошибка
E = 2,977·4,088·√(1/9 + 1/7) = 6,134
Интервал
4 ± 6,134 → [−2,134, 10,13]
Ответ
верхняя граница = 10,13 kg
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: p = 0,02261
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерия
SE = σ/√n = 12/√36 = 2
z = (254,56 − 250)/2 = 2,28
Площадь хвоста
Φ(2,28) = 0,9887
1 − Φ(2,28) = 0,0113
p-значение
p = 2·0,0113 = 0,02261
Ответ
p = 0,02261
p ≤ 0,05, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 %.
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 41
Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.