Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В рандомизированном исследовании 990 пациентов получили новое лечение, а 880 получили контрольное лечение. В таблице показано, сколько в каждой группе имели побочный эффект. Найдите относительный риск RR события при лечении. Округлите до двух знаков после запятой.
лечение: 668/990контроль: 238/880
RR =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Скрининговый тест имеет чувствительность 70% и специфичность 94%. Он применяется в популяции с распространённостью 2%. Найдите прогностическую ценность положительного результата PPV в процентах. Округлите до одного знака после запятой.
Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений меньше 77,2?
μ = 70σ = 12x = 77,2
P =
5.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 7 элементов имеет среднее 77,5 и стандартное отклонение s = 14,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для среднего.
n = 7x̄ = 77,5s = 14,590%t(6) = 1,943
E =
6.Доверительные интервалыСложная
Диаметры 10 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 1,1 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 9 2,5 % распределения χ² лежит ниже 2,7 и 2,5 % — выше 19,023.
n = 10s = 1,1 µmχ² = 2,7, 19,023
σ = µm
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 64 студентов имеет средний балл 503,1 и выборочное стандартное отклонение 12. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 503,1s = 12n = 64
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
В исследовании выздоравливают 50 из 200 пациентов, получавших лечение A, и 88 из 250 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 50n₁ = 200x₂ = 88n₂ = 250
z =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: RR = 2,49
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Частота событий
EER = 668/990 = 0,6747
CER = 238/880 = 0,2705
Относительный риск
RR = 0,6747/0,2705 = 2,495 ≈ 2,49
Ответ
RR = 2,49
2.Статистика доказательной практики
Ответ: PPV = 19,2 %
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Чем ниже распространённость, тем ниже PPV того же теста.
3.Описательная статистика
Ответ: s = 18,58
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 0,6
Таблица нормального распределения
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
Ответ
P = 0,7257
5.Доверительные интервалы
Ответ: E = 10,65
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 6, t = 1,943
Предельная ошибка
E = 1,943·14,5/√7 = 10,65
Ответ
E = 10,65
6.Доверительные интервалы
Ответ: σ = 0,7566 µm
Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.
Сумма квадратов
(n − 1)s² = 9·1,1² = 10,89
Границы для σ²
10,89/19,023 = 0,5725
10,89/2,7 = 4,033
Граница для σ
σ = √0,5725 = 0,7566 µm
Ответ
σ = 0,7566 µm
95 % интервал для σ: [0,7566, 2,008] µm.
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 2,067
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 12/√64 = 12/8 = 1,5
Статистика критерия
t = (503,1 − 500)/1,5 = 2,067
Ответ
t = 2,067
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = −2,332
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Выборочные доли
p̂₁ = 50/200 = 0,25
p̂₂ = 88/250 = 0,352
p̂ = 138/450 = 0,3067
Стандартная ошибка при H₀
SE = √(0,3067·0,6933·(1/200 + 1/250)) = 0,04374
Статистика критерия
z = (0,25 − 0,352)/0,04374 = −2,332
Ответ
z = −2,332
|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).