Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В исследовании «случай—контроль» сравнивают 240 пациентов с заболеванием (случаи) и 200 людей без него (контроли). В таблице показано, сколько в каждой группе подвергались воздействию фактора риска. Найдите отношение шансов OR для воздействия. Округлите до двух знаков после запятой.
a = 126b = 54c = 114d = 146
OR =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Проходят скрининг 10 000 человек тестом с чувствительностью 79% и специфичностью 84%. Распространённость заболевания 7%. Сколько ложноположительных результатов FP ожидается?
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 12. Найдите z-оценку z для результата 152.
μ = 170σ = 12x = 152
z =
5.Доверительные интервалыСредняя
99 % доверительный интервал для среднего, построенный по 100 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 10. Какой будет предельная ошибка E₂ 90 % интервала по 200 наблюдениям?
99%n₁ = 100E₁ = 1090%n₂ = 200
E₂ =
6.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 29. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 3?
σ = 29E = 399%
n =
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 100 студентов имеет средний балл 197,5 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 197,5s = 8n = 100
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
В исследовании выздоравливают 30 из 120 пациентов, получавших лечение A, и 20 из 150 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 30n₁ = 120x₂ = 20n₂ = 150
z =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: OR = 2,99
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Шансы воздействия
случаи: 126/114 = 1,105
контроли: 54/146 = 0,3699
Отношение шансов
OR = (126·146)/(54·114) = 2,988 ≈ 2,99
Ответ
OR = 2,99
OR выше 1: воздействие чаще встречается среди случаев.
2.Статистика доказательной практики
Ответ: FP = 1488
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
С заболеванием и без него
10 000·0,07 = 700
10 000 − 700 = 9300
Ложноположительные
FP = 9300·0,16 = 1488
Ответ
FP = 1488
Из 2041 положительных результатов только 553 относятся к больным (PPV 27,1%).
3.Описательная статистика
Ответ: s = 19,37
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (152 − 170)/12 = −1,5
Ответ
z = −1,5
5.Доверительные интервалы
Ответ: E₂ = 4,515
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Отношение предельных ошибок
E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(100/200) = 0,4515
Новая предельная ошибка
E₂ = 10·0,4515 = 4,515
Ответ
E₂ = 4,515
6.Доверительные интервалы
Ответ: n = 621
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (2,576·29/3)² = 620,1
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 621
Ответ
n = 621
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −3,125
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8
Статистика критерия
t = (197,5 − 200)/0,8 = −3,125
Ответ
t = −3,125
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = 2,452
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Выборочные доли
p̂₁ = 30/120 = 0,25
p̂₂ = 20/150 = 0,1333
p̂ = 50/270 = 0,1852
Стандартная ошибка при H₀
SE = √(0,1852·0,8148·(1/120 + 1/150)) = 0,04757
Статистика критерия
z = (0,25 − 0,1333)/0,04757 = 2,452
Ответ
z = 2,452
|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).