Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В когорте группы людей наблюдали в течение разного времени (см. таблицу: число людей и годы наблюдения для каждой). За время наблюдения возникло 49 новых случаев. Найдите показатель заболеваемости IR на 1000 человеко-лет. Округлите до одного знака после запятой.
460 × 0,5 годы240 × 4 годы49 новые случаи
IR = на 1000 человеко-лет
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Лечение снижает риск события на 43% в относительном выражении (RRR = 43%). В группе пациентов риск без лечения (CER) за пять лет составляет 28%. Найдите число пациентов, которых необходимо лечить, NNT в течение пяти лет, чтобы предотвратить одно событие. Округлите вверх до целого числа пациентов.
Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 20. Какая доля P значений меньше 200?
μ = 170σ = 20x = 200
P =
5.Доверительные интервалыСредняя
У 15 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 8,6 и стандартное отклонение 5,4. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для средней разности.
n = 15d̄ = 8,6sd = 5,499%t(14) = 2,977
верхняя граница = mmHg
6.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 15. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?
σ = 15E = 1,595%
n =
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 12 студентов, средний балл 102,5, стандартное отклонение 10. Группа 2: 14 студентов, средний балл 113,5, стандартное отклонение 10. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий для H₀: μ = 500 против H₁: μ > 500 проводится при α = 0,10 по выборке объёмом 100; стандартное отклонение известно и равно 15. В действительности среднее равно 503,9. Найдите мощность 1 − β критерия в процентах.
μ₀ = 500μ = 503,9σ = 15n = 100α = 0,10
1 − β = %
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: IR = 41,2 на 1000 человеко-лет
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Человеко-годы
PY = 460·0,5 + 240·4 = 1190
Показатель заболеваемости
IR = 49/1190·1000 = 41,2 на 1000 человеко-лет
Ответ
IR = 41,2 на 1000 человеко-лет
2.Статистика доказательной практики
Ответ: NNT = 9
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Абсолютное снижение риска
ARR = 0,28·0,43 = 0,1204
Число пациентов, которых необходимо лечить (NNT)
NNT = 1/0,1204 = 8,306 → 9
Ответ
NNT = 9
Один и тот же относительный эффект даёт меньший NNT при более высоком исходном риске.
3.Описательная статистика
Ответ: s = 8,677
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 1,5
Таблица нормального распределения
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Ответ
P = 0,9332
5.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 12,75 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критическое значение
df = 14, t = 2,977
Предельная ошибка
E = 2,977·5,4/√15 = 4,151
Интервал
8,6 ± 4,151 → [4,449, 12,75]
Ответ
верхняя граница = 12,75 mmHg
6.Доверительные интервалы
Ответ: n = 385
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,96·15/1,5)² = 384,2
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 385
Ответ
n = 385
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −2,796
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Объединённая дисперсия
sp² = (11·10² + 13·10²)/24 = 100
sp = 10
Стандартная ошибка
SE = 10·√(1/12 + 1/14) = 3,934
Статистика критерия
t = (102,5 − 113,5)/3,934 = −2,796
Ответ
t = −2,796
При df = 24 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,064; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: 1 − β = 90,62 %
Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).