Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В исследовании новый тест сравнивали с референсным стандартом (см. таблицу 2 × 2). Найдите положительное отношение правдоподобия LR+. Округлите до двух знаков после запятой.
a = 152b = 55c = 78d = 175
LR+ =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Лечение снижает риск события на 18% в относительном выражении (RRR = 18%). В группе пациентов риск без лечения (CER) за пять лет составляет 40%. Найдите число пациентов, которых необходимо лечить, NNT в течение пяти лет, чтобы предотвратить одно событие. Округлите вверх до целого числа пациентов.
Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 50. Какая доля P значений меньше 550?
μ = 500σ = 50x = 550
P =
5.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 25 элементов имеет среднее 61,5 и стандартное отклонение s = 12. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для среднего.
n = 25x̄ = 61,5s = 1295%t(24) = 2,064
E =
6.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 27. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 5?
σ = 27E = 590%
n =
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 120; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 12. Случайная выборка из 64 наблюдений имеет среднее 123,24. Проверьте H₀: μ = 120 против H₁: μ > 120. Найдите p-значение p.
μ₀ = 120σ = 12n = 64x̄ = 123,24H₁: μ > μ₀
p =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
В исследовании выздоравливают 165 из 300 пациентов, получавших лечение A, и 54 из 120 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 165n₁ = 300x₂ = 54n₂ = 120
z =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: LR+ = 2,76
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Чувствительность и специфичность
Se = 152/230 = 0,6609
Sp = 175/230 = 0,7609
Положительное отношение правдоподобия
LR+ = 0,6609/(1 − 0,7609) = 2,764 ≈ 2,76
Ответ
LR+ = 2,76
2.Статистика доказательной практики
Ответ: NNT = 14
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Абсолютное снижение риска
ARR = 0,4·0,18 = 0,072
Число пациентов, которых необходимо лечить (NNT)
NNT = 1/0,072 = 13,89 → 14
Ответ
NNT = 14
Один и тот же относительный эффект даёт меньший NNT при более высоком исходном риске.
3.Описательная статистика
Ответ: s = 14,87
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 1
Таблица нормального распределения
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Ответ
P = 0,8413
5.Доверительные интервалы
Ответ: E = 4,954
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 24, t = 2,064
Предельная ошибка
E = 2,064·12/√25 = 4,954
Ответ
E = 4,954
6.Доверительные интервалы
Ответ: n = 79
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,645·27/5)² = 78,91
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 79
Ответ
n = 79
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: p = 0,01539
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерия
SE = σ/√n = 12/√64 = 1,5
z = (123,24 − 120)/1,5 = 2,16
Площадь хвоста
Φ(2,16) = 0,9846
1 − Φ(2,16) = 0,0154
p-значение
p = 0,01539
Ответ
p = 0,01539
p ≤ 0,05, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 %.
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = 1,853
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Выборочные доли
p̂₁ = 165/300 = 0,55
p̂₂ = 54/120 = 0,45
p̂ = 219/420 = 0,5214
Стандартная ошибка при H₀
SE = √(0,5214·0,4786·(1/300 + 1/120)) = 0,05396
Статистика критерия
z = (0,55 − 0,45)/0,05396 = 1,853
Ответ
z = 1,853
|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).