Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В когорте группы людей наблюдали в течение разного времени (см. таблицу: число людей и годы наблюдения для каждой). За время наблюдения возникло 108 новых случаев. Найдите показатель заболеваемости IR на 1000 человеко-лет. Округлите до одного знака после запятой.
100 × 4 годы350 × 2,5 годы480 × 2 годы108 новые случаи
IR = на 1000 человеко-лет
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Проходят скрининг 10 000 человек тестом с чувствительностью 78% и специфичностью 88%. Распространённость заболевания 25%. Сколько всего положительных результатов n₊ ожидается?
Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 15. Какая доля P значений больше 188,8?
μ = 170σ = 15x = 188,8
P =
5.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 10 элементов имеет среднее 42 и стандартное отклонение s = 4,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.
n = 10x̄ = 42s = 4,599%t(9) = 3,25
верхняя граница =
6.Доверительные интервалыСложная
Диаметры 30 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 11,2 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 29 2,5 % распределения χ² лежит ниже 16,047 и 2,5 % — выше 45,722.
n = 30s = 11,2 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 500; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 5. Случайная выборка из 25 наблюдений имеет среднее 498,74. Проверьте H₀: μ = 500 против H₁: μ < 500. Найдите p-значение p.
μ₀ = 500σ = 5n = 25x̄ = 498,74H₁: μ < μ₀
p =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
В исследовании выздоравливают 120 из 200 пациентов, получавших лечение A, и 103 из 150 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 120n₁ = 200x₂ = 103n₂ = 150
z =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: IR = 48,3 на 1000 человеко-лет
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Человеко-годы
PY = 100·4 + 350·2,5 + 480·2 = 2235
Показатель заболеваемости
IR = 108/2235·1000 = 48,3 на 1000 человеко-лет
Ответ
IR = 48,3 на 1000 человеко-лет
2.Статистика доказательной практики
Ответ: n₊ = 2850
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
С заболеванием и без него
10 000·0,25 = 2500
10 000 − 2500 = 7500
Все положительные результаты
TP = 2500·0,78 = 1950
FP = 7500·0,12 = 900
n₊ = 1950 + 900 = 2850
Ответ
n₊ = 2850
Из 2850 положительных результатов только 1950 относятся к больным (PPV 68,4%).
3.Описательная статистика
Ответ: s = 13,37
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 1,25
Таблица нормального распределения
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Ответ
P = 0,1056
5.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 46,62
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 9, t = 3,25
Предельная ошибка
E = 3,25·4,5/√10 = 4,625
Интервал
42 ± 4,625 → [37,38, 46,62]
Ответ
верхняя граница = 46,62
6.Доверительные интервалы
Ответ: σ = 15,06 µm
Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.
Сумма квадратов
(n − 1)s² = 29·11,2² = 3638
Границы для σ²
3638/45,722 = 79,56
3638/16,047 = 226,7
Граница для σ
σ = √226,7 = 15,06 µm
Ответ
σ = 15,06 µm
95 % интервал для σ: [8,92, 15,06] µm.
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: p = 0,1038
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерия
SE = σ/√n = 5/√25 = 1
z = (498,74 − 500)/1 = −1,26
Площадь хвоста
Φ(1,26) = 0,8962
1 − Φ(1,26) = 0,1038
p-значение
p = 0,1038
Ответ
p = 0,1038
p > 0,05, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 %.
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = −1,669
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Выборочные доли
p̂₁ = 120/200 = 0,6
p̂₂ = 103/150 = 0,6867
p̂ = 223/350 = 0,6371
Стандартная ошибка при H₀
SE = √(0,6371·0,3629·(1/200 + 1/150)) = 0,05193
Статистика критерия
z = (0,6 − 0,6867)/0,05193 = −1,669
Ответ
z = −1,669
|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).