Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В рандомизированном исследовании 950 пациентов получили новое лечение, а 180 получили контрольное лечение. В таблице показано, сколько в каждой группе имели исход (нежелательное событие, например инсульт). Найдите относительное снижение риска RRR в процентах. Округлите до одного знака после запятой.
лечение: 257/950контроль: 65/180
RRR = %
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Лечение снижает риск события на 15% в относительном выражении (RRR = 15%). В группе пациентов риск без лечения (CER) за пять лет составляет 20%. Найдите число пациентов, которых необходимо лечить, NNT в течение пяти лет, чтобы предотвратить одно событие. Округлите вверх до целого числа пациентов.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 50. Найдите z-оценку z для результата 600.
μ = 500σ = 50x = 600
z =
5.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 6 элементов имеет среднее 40 и стандартное отклонение s = 9. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.
n = 6x̄ = 40s = 990%t(5) = 2,015
нижняя граница =
6.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 32. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 5?
σ = 32E = 590%
n =
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 100 студентов имеет средний балл 119,3 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 119,3s = 8n = 100
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Какой должна быть выборка, чтобы 99 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 3? Стандартное отклонение — 12. Найдите наименьший объём выборки n.
σ = 12E = 399%
n =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: RRR = 25,1 %
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Частота событий
EER = 257/950 = 0,2705
CER = 65/180 = 0,3611
Относительное снижение риска
ARR = 0,3611 − 0,2705 = 0,09058
RRR = 0,09058/0,3611 = 0,2509 ≈ 25,1%
Ответ
RRR = 25,1%
2.Статистика доказательной практики
Ответ: NNT = 34
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Абсолютное снижение риска
ARR = 0,2·0,15 = 0,03
Число пациентов, которых необходимо лечить (NNT)
NNT = 1/0,03 = 33,33 → 34
Ответ
NNT = 34
Один и тот же относительный эффект даёт меньший NNT при более высоком исходном риске.
3.Описательная статистика
Ответ: s = 13,43
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (600 − 500)/50 = 2
Ответ
z = 2
5.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 32,6
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 5, t = 2,015
Предельная ошибка
E = 2,015·9/√6 = 7,404
Интервал
40 ± 7,404 → [32,6, 47,4]
Ответ
нижняя граница = 32,6
6.Доверительные интервалы
Ответ: n = 111
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,645·32/5)² = 110,8
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 111
Ответ
n = 111
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −0,875
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8
Статистика критерия
t = (119,3 − 120)/0,8 = −0,875
Ответ
t = −0,875
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 107
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).