Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В когортном исследовании подвергавшиеся воздействию люди дали 7300 человеко-лет и 380 новых случаев, а не подвергавшиеся — 3100 человеко-лет и 40 новых случаев. Найдите отношение показателей заболеваемости IRR (подвергавшиеся против не подвергавшихся). Округлите до двух знаков после запятой.
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Скрининговый тест имеет чувствительность 90% и специфичность 95%. Он применяется в популяции с распространённостью 5%. Найдите прогностическую ценность отрицательного результата NPV в процентах. Округлите до одного знака после запятой.
Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений меньше 58?
μ = 70σ = 12x = 58
P =
5.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 21 элементов имеет среднее 47 и стандартное отклонение s = 4,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.
n = 21x̄ = 47s = 4,599%t(20) = 2,845
нижняя граница =
6.Доверительные интервалыСложная
Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 19 участков, средний урожай 51,5 kg, стандартное отклонение 3 kg. Группа участков 2: 12 участков, среднее 54 kg, стандартное отклонение 6 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 25 студентов имеет средний балл 55,1 и выборочное стандартное отклонение 15. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 55,1s = 15n = 25
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 3? Стандартное отклонение — 5. Найдите наименьший объём выборки n.
σ = 5E = 390%
n =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: IRR = 4,03
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Показатели заболеваемости
подвергались воздействию: 380/7300 = 52,05 на 1000 человеко-лет
не подвергались воздействию: 40/3100 = 12,9 на 1000 человеко-лет
Отношение показателей
IRR = 52,05/12,9 = 4,034 ≈ 4,03
Ответ
IRR = 4,03
2.Статистика доказательной практики
Ответ: NPV = 99,4 %
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −1
Таблица нормального распределения
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Ответ
P = 0,1587
5.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 44,21
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 20, t = 2,845
Предельная ошибка
E = 2,845·4,5/√21 = 2,794
Интервал
47 ± 2,794 → [44,21, 49,79]
Ответ
нижняя граница = 44,21
6.Доверительные интервалы
Ответ: E = 3,308 kg
Интервал для разности: оценка ± критическое значение × стандартная ошибка. Для двух независимых средних при известных σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) и z. При равных неизвестных дисперсиях: объединённое s_p и t с n₁ + n₂ − 2 степенями свободы. Для парных данных работайте с разностями: d̄ ± t·s_d/√n.
Объединённое стандартное отклонение
sp² = (18·3² + 11·6²)/29 = 19,24
sp = 4,386
Предельная ошибка
E = 2,045·4,386·√(1/19 + 1/12) = 3,308
Ответ
E = 3,308 kg
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 1,7
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 15/√25 = 15/5 = 3
Статистика критерия
t = (55,1 − 50)/3 = 1,7
Ответ
t = 1,7
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 8
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).