Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В рандомизированном исследовании 940 пациентов получили новое лечение, а 750 получили контрольное лечение. В таблице показано, сколько в каждой группе имели побочный эффект. Найдите число пациентов, при лечении которых возникает один вред, NNH: сколько пациентов нужно лечить, чтобы у одного дополнительного пациента возник побочный эффект? Округлите вверх до целого числа пациентов.
лечение: 102/940контроль: 45/750
NNH =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Без препарата у 38% пациентов в течение года возникает определённый побочный эффект. Препарат повышает этот риск с относительным риском RR = 1,27. Найдите число пациентов, при лечении которых возникает один вред, NNH: сколько пациентов должны принимать препарат в течение года, чтобы у одного дополнительного пациента возник побочный эффект? Округлите вверх до целого числа пациентов.
Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 10. Какая доля P значений больше 174?
μ = 170σ = 10x = 174
P =
5.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 9 элементов имеет среднее 102,5 и стандартное отклонение s = 17,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.
n = 9x̄ = 102,5s = 17,599%t(8) = 3,355
верхняя граница =
6.Доверительные интервалыСложная
Диаметры 15 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 9,6 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 14 2,5 % распределения χ² лежит ниже 5,629 и 2,5 % — выше 26,119.
n = 15s = 9,6 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
20 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 6,95, стандартное отклонение разностей — 8,4. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.
n = 20d̄ = 6,95sd = 8,4
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Какой должна быть выборка, чтобы 99 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 2,5? Стандартное отклонение — 20. Найдите наименьший объём выборки n.
σ = 20E = 2,599%
n =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: NNH = 21
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Частота событий
EER = 102/940 = 0,1085
CER = 45/750 = 0,06
Число пациентов, при лечении которых возникает один вред (NNH)
ARI = 0,1085 − 0,06 = 0,04851
NNH = 1/0,04851 = 20,61 → 21
Ответ
NNH = 21
Примерно у одного из каждых 21 леченых пациентов побочный эффект возникает из-за лечения.
2.Статистика доказательной практики
Ответ: NNH = 10
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Риск с препаратом
0,38·1,27 = 0,4826
Абсолютное увеличение риска
ARI = 0,4826 − 0,38 = 0,1026
Число пациентов, при лечении которых возникает один вред (NNH)
NNH = 1/0,1026 = 9,747 → 10
Ответ
NNH = 10
3.Описательная статистика
Ответ: s = 20,35
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 0,4
Таблица нормального распределения
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Ответ
P = 0,3446
5.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 122,1
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 8, t = 3,355
Предельная ошибка
E = 3,355·17,5/√9 = 19,57
Интервал
102,5 ± 19,57 → [82,93, 122,1]
Ответ
верхняя граница = 122,1
6.Доверительные интервалы
Ответ: σ = 15,14 µm
Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.
Сумма квадратов
(n − 1)s² = 14·9,6² = 1290
Границы для σ²
1290/26,119 = 49,4
1290/5,629 = 229,2
Граница для σ
σ = √229,2 = 15,14 µm
Ответ
σ = 15,14 µm
95 % интервал для σ: [7,028, 15,14] µm.
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 3,7
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартная ошибка средней разности
SE = 8,4/√20 = 1,878
Статистика критерия
t = 6,95/1,878 = 3,7
Ответ
t = 3,7
При df = 19 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,093; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 425
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).