Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В исследовании новый тест сравнивали с референсным стандартом (см. таблицу 2 × 2). Найдите положительное отношение правдоподобия LR+. Округлите до двух знаков после запятой.
a = 97b = 86c = 3d = 1644
LR+ =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). У пациента вероятность заболевания до теста составляет 20%. Тест с чувствительностью 81% и специфичностью 94% даёт результат: отрицательна. Найдите вероятность заболевания после теста p′ в процентах. Округлите до одного знака после запятой.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 60 и стандартным отклонением 20. Найдите z-оценку z для результата 50.
μ = 60σ = 20x = 50
z =
5.Доверительные интервалыСредняя
90 % доверительный интервал для среднего, построенный по 25 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 8,4. Какой будет предельная ошибка E₂ 95 % интервала по 225 наблюдениям?
90%n₁ = 25E₁ = 8,495%n₂ = 225
E₂ =
6.Доверительные интервалыСложная
Диаметры 21 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 1,1 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 20 2,5 % распределения χ² лежит ниже 9,591 и 2,5 % — выше 34,17.
n = 21s = 1,1 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
7 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 2,37, стандартное отклонение разностей — 1,9. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.
n = 7d̄ = 2,37sd = 1,9
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
В исследовании выздоравливают 98 из 150 пациентов, получавших лечение A, и 71 из 100 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 98n₁ = 150x₂ = 71n₂ = 100
z =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: LR+ = 19,51
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Чувствительность и специфичность
Se = 97/100 = 0,97
Sp = 1644/1730 = 0,9503
Положительное отношение правдоподобия
LR+ = 0,97/(1 − 0,9503) = 19,51
Ответ
LR+ = 19,51
2.Статистика доказательной практики
Ответ: p′ = 4,8 %
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Отношение правдоподобия
LR− = (1 − 0,81)/0,94 = 0,2021
Шансы до теста
0,2/(1 − 0,2) = 0,25
Шансы после теста
0,25·0,2021 = 0,05053
Вероятность после теста
p′ = 0,05053/(1 + 0,05053) = 0,0481 ≈ 4,8%
Ответ
p′ = 4,8%
3.Описательная статистика
Ответ: s = 20,62
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (50 − 60)/20 = −0,5
Ответ
z = −0,5
5.Доверительные интервалы
Ответ: E₂ = 3,336
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Отношение предельных ошибок
E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(25/225) = 0,3972
Новая предельная ошибка
E₂ = 8,4·0,3972 = 3,336
Ответ
E₂ = 3,336
6.Доверительные интервалы
Ответ: σ = 1,588 µm
Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.
Сумма квадратов
(n − 1)s² = 20·1,1² = 24,2
Границы для σ²
24,2/34,17 = 0,7082
24,2/9,591 = 2,523
Граница для σ
σ = √2,523 = 1,588 µm
Ответ
σ = 1,588 µm
95 % интервал для σ: [0,8416, 1,588] µm.
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 3,3
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартная ошибка средней разности
SE = 1,9/√7 = 0,7181
Статистика критерия
t = 2,37/0,7181 = 3,3
Ответ
t = 3,3
При df = 6 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,447; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = −0,9379
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Выборочные доли
p̂₁ = 98/150 = 0,6533
p̂₂ = 71/100 = 0,71
p̂ = 169/250 = 0,676
Стандартная ошибка при H₀
SE = √(0,676·0,324·(1/150 + 1/100)) = 0,06042
Статистика критерия
z = (0,6533 − 0,71)/0,06042 = −0,9379
Ответ
z = −0,9379
|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).