Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В исследовании «случай—контроль» сравнивают 390 пациентов с заболеванием (случаи) и 520 людей без него (контроли). В таблице показано, сколько в каждой группе подвергались воздействию фактора риска. Найдите отношение шансов OR для воздействия. Округлите до двух знаков после запятой.
a = 101b = 213c = 289d = 307
OR =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Лечение снижает риск события на 36% в относительном выражении (RRR = 36%). В группе пациентов риск без лечения (CER) за пять лет составляет 36%. Найдите число пациентов, которых необходимо лечить, NNT в течение пяти лет, чтобы предотвратить одно событие. Округлите вверх до целого числа пациентов.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 50 и стандартным отклонением 8. Найдите z-оценку z для результата 43,6.
μ = 50σ = 8x = 43,6
z =
5.Доверительные интервалыСредняя
У 15 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 9,7 и стандартное отклонение 0,6. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для средней разности.
n = 15d̄ = 9,7sd = 0,690%t(14) = 1,761
нижняя граница = mmHg
6.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 8. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?
σ = 8E = 2,595%
n =
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 16 студентов имеет средний балл 77,13 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 77,13s = 5n = 16
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
В исследовании выздоравливают 60 из 200 пациентов, получавших лечение A, и 53 из 120 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 60n₁ = 200x₂ = 53n₂ = 120
z =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: OR = 0,5
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Шансы воздействия
случаи: 101/289 = 0,3495
контроли: 213/307 = 0,6938
Отношение шансов
OR = (101·307)/(213·289) = 0,5037 ≈ 0,5
Ответ
OR = 0,5
OR ниже 1: воздействие реже встречается среди случаев, что говорит о защитном эффекте.
2.Статистика доказательной практики
Ответ: NNT = 8
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Абсолютное снижение риска
ARR = 0,36·0,36 = 0,1296
Число пациентов, которых необходимо лечить (NNT)
NNT = 1/0,1296 = 7,716 → 8
Ответ
NNT = 8
Один и тот же относительный эффект даёт меньший NNT при более высоком исходном риске.
3.Описательная статистика
Ответ: s = 10,75
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (43,6 − 50)/8 = −0,8
Ответ
z = −0,8
5.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 9,427 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критическое значение
df = 14, t = 1,761
Предельная ошибка
E = 1,761·0,6/√15 = 0,2728
Интервал
9,7 ± 0,2728 → [9,427, 9,973]
Ответ
нижняя граница = 9,427 mmHg
6.Доверительные интервалы
Ответ: n = 40
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,96·8/2,5)² = 39,34
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 40
Ответ
n = 40
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 1,704
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25
Статистика критерия
t = (77,13 − 75)/1,25 = 1,704
Ответ
t = 1,704
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = −2,567
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Выборочные доли
p̂₁ = 60/200 = 0,3
p̂₂ = 53/120 = 0,4417
p̂ = 113/320 = 0,3531
Стандартная ошибка при H₀
SE = √(0,3531·0,6469·(1/200 + 1/120)) = 0,05519
Статистика критерия
z = (0,3 − 0,4417)/0,05519 = −2,567
Ответ
z = −2,567
|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).