Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В рандомизированном исследовании 440 пациентов получили новое лечение, а 550 получили контрольное лечение. В таблице показано, сколько в каждой группе имели побочный эффект. Найдите относительный риск RR события при лечении. Округлите до двух знаков после запятой.
лечение: 374/440контроль: 187/550
RR =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Проходят скрининг 10 000 человек тестом с чувствительностью 89% и специфичностью 89%. Распространённость заболевания 8%. Сколько всего положительных результатов n₊ ожидается?
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 100 и стандартным отклонением 10. Найдите z-оценку z для результата 115.
μ = 100σ = 10x = 115
z =
5.Доверительные интервалыСредняя
У 7 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее −4 и стандартное отклонение 2,6. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для средней разности.
n = 7d̄ = −4sd = 2,690%t(6) = 1,943
верхняя граница = mmHg
6.Доверительные интервалыСложная
Диаметры 30 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 6,4 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 29 2,5 % распределения χ² лежит ниже 16,047 и 2,5 % — выше 45,722.
n = 30s = 6,4 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
13 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна −4,53, стандартное отклонение разностей — 8,6. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.
n = 13d̄ = −4,53sd = 8,6
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 2 единиц с мощностью 95 %. Стандартное отклонение равно 10. Найдите минимальный объём выборки n.
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Частота событий
EER = 374/440 = 0,85
CER = 187/550 = 0,34
Относительный риск
RR = 0,85/0,34 = 2,5
Ответ
RR = 2,5
2.Статистика доказательной практики
Ответ: n₊ = 1724
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
С заболеванием и без него
10 000·0,08 = 800
10 000 − 800 = 9200
Все положительные результаты
TP = 800·0,89 = 712
FP = 9200·0,11 = 1012
n₊ = 712 + 1012 = 1724
Ответ
n₊ = 1724
Из 1724 положительных результатов только 712 относятся к больным (PPV 41,3%).
3.Описательная статистика
Ответ: s = 9,99
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (115 − 100)/10 = 1,5
Ответ
z = 1,5
5.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = −2,091 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критическое значение
df = 6, t = 1,943
Предельная ошибка
E = 1,943·2,6/√7 = 1,909
Интервал
−4 ± 1,909 → [−5,909, −2,091]
Ответ
верхняя граница = −2,091 mmHg
6.Доверительные интервалы
Ответ: σ = 5,097 µm
Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.
Сумма квадратов
(n − 1)s² = 29·6,4² = 1188
Границы для σ²
1188/45,722 = 25,98
1188/16,047 = 74,02
Граница для σ
σ = √25,98 = 5,097 µm
Ответ
σ = 5,097 µm
95 % интервал для σ: [5,097, 8,604] µm.
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −1,899
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартная ошибка средней разности
SE = 8,6/√13 = 2,385
Статистика критерия
t = −4,53/2,385 = −1,899
Ответ
t = −1,899
При df = 12 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,179; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 271
Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.