Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В когорте группы людей наблюдали в течение разного времени (см. таблицу: число людей и годы наблюдения для каждой). За время наблюдения возникло 9 новых случаев. Найдите показатель заболеваемости IR на 1000 человеко-лет. Округлите до одного знака после запятой.
440 × 1 год270 × 1,5 годы470 × 2,5 годы9 новые случаи
IR = на 1000 человеко-лет
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Скрининговый тест имеет чувствительность 72% и специфичность 92%. Он применяется в популяции с распространённостью 0,5%. Найдите прогностическую ценность положительного результата PPV в процентах. Округлите до одного знака после запятой.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 50 и стандартным отклонением 10. Найдите z-оценку z для результата 65.
μ = 50σ = 10x = 65
z =
5.Доверительные интервалыСредняя
У 15 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 3,9 и стандартное отклонение 2,9. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для средней разности.
n = 15d̄ = 3,9sd = 2,995%t(14) = 2,145
нижняя граница = mmHg
6.Доверительные интервалыСложная
Диаметры 21 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 9,5 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 20 2,5 % распределения χ² лежит ниже 9,591 и 2,5 % — выше 34,17.
n = 21s = 9,5 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 250; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 5. Случайная выборка из 25 наблюдений имеет среднее 251,98. Проверьте H₀: μ = 250 против H₁: μ > 250. Найдите p-значение p.
μ₀ = 250σ = 5n = 25x̄ = 251,98H₁: μ > μ₀
p =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
В исследовании выздоравливают 32 из 80 пациентов, получавших лечение A, и 62 из 120 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 32n₁ = 80x₂ = 62n₂ = 120
z =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: IR = 4,5 на 1000 человеко-лет
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Человеко-годы
PY = 440·1 + 270·1,5 + 470·2,5 = 2020
Показатель заболеваемости
IR = 9/2020·1000 = 4,5 на 1000 человеко-лет
Ответ
IR = 4,5 на 1000 человеко-лет
2.Статистика доказательной практики
Ответ: PPV = 4,3 %
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Чем ниже распространённость, тем ниже PPV того же теста.
3.Описательная статистика
Ответ: s = 19,66
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (65 − 50)/10 = 1,5
Ответ
z = 1,5
5.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 2,294 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критическое значение
df = 14, t = 2,145
Предельная ошибка
E = 2,145·2,9/√15 = 1,606
Интервал
3,9 ± 1,606 → [2,294, 5,506]
Ответ
нижняя граница = 2,294 mmHg
6.Доверительные интервалы
Ответ: σ = 7,268 µm
Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.
Сумма квадратов
(n − 1)s² = 20·9,5² = 1805
Границы для σ²
1805/34,17 = 52,82
1805/9,591 = 188,2
Граница для σ
σ = √52,82 = 7,268 µm
Ответ
σ = 7,268 µm
95 % интервал для σ: [7,268, 13,72] µm.
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: p = 0,02385
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерия
SE = σ/√n = 5/√25 = 1
z = (251,98 − 250)/1 = 1,98
Площадь хвоста
Φ(1,98) = 0,9761
1 − Φ(1,98) = 0,0239
p-значение
p = 0,02385
Ответ
p = 0,02385
p ≤ 0,05, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 %.
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = −1,619
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Выборочные доли
p̂₁ = 32/80 = 0,4
p̂₂ = 62/120 = 0,5167
p̂ = 94/200 = 0,47
Стандартная ошибка при H₀
SE = √(0,47·0,53·(1/80 + 1/120)) = 0,07204
Статистика критерия
z = (0,4 − 0,5167)/0,07204 = −1,619
Ответ
z = −1,619
|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).