Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В когорте группы людей наблюдали в течение разного времени (см. таблицу: число людей и годы наблюдения для каждой). За время наблюдения возникло 64 новых случаев. Найдите показатель заболеваемости IR на 1000 человеко-лет. Округлите до одного знака после запятой.
420 × 5 годы380 × 3 годы64 новые случаи
IR = на 1000 человеко-лет
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Проходят скрининг 10 000 человек тестом с чувствительностью 84% и специфичностью 82%. Распространённость заболевания 19%. Сколько людей с заболеванием тест пропускает (ложноотрицательные, FN)?
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 60 и стандартным отклонением 5. Найдите z-оценку z для результата 66,25.
μ = 60σ = 5x = 66,25
z =
5.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 9 элементов имеет среднее 103,5 и стандартное отклонение s = 18,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.
n = 9x̄ = 103,5s = 18,595%t(8) = 2,306
верхняя граница =
6.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 7. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 2?
σ = 7E = 295%
n =
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 49 студентов имеет средний балл 73,74 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 73,74s = 4n = 49
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 25 измерений имеет среднее 119. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 8. Найдите верхнюю границу U 90 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 119σ = 8n = 2590%
U =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: IR = 19,8 на 1000 человеко-лет
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Человеко-годы
PY = 420·5 + 380·3 = 3240
Показатель заболеваемости
IR = 64/3240·1000 = 19,8 на 1000 человеко-лет
Ответ
IR = 19,8 на 1000 человеко-лет
2.Статистика доказательной практики
Ответ: FN = 304
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
С заболеванием и без него
10 000·0,19 = 1900
10 000 − 1900 = 8100
Ложноотрицательные
FN = 1900·0,16 = 304
Ответ
FN = 304
3.Описательная статистика
Ответ: s = 17,85
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (66,25 − 60)/5 = 1,25
Ответ
z = 1,25
5.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 117,7
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 8, t = 2,306
Предельная ошибка
E = 2,306·18,5/√9 = 14,22
Интервал
103,5 ± 14,22 → [89,28, 117,7]
Ответ
верхняя граница = 117,7
6.Доверительные интервалы
Ответ: n = 48
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,96·7/2)² = 47,06
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 48
Ответ
n = 48
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −2,205
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 4/√49 = 4/7 = 0,5714
Статистика критерия
t = (73,74 − 75)/0,5714 = −2,205
Ответ
t = −2,205
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| > 2,011, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: U = 121,6
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).