Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В рандомизированном исследовании 390 пациентов получили новое лечение, а 390 получили контрольное лечение. В таблице показано, сколько в каждой группе имели исход (нежелательное событие, например инсульт). Найдите абсолютное снижение риска ARR в процентах. Округлите до одного знака после запятой.
лечение: 57/390контроль: 113/390
ARR = %
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Проходят скрининг 10 000 человек тестом с чувствительностью 77% и специфичностью 78%. Распространённость заболевания 23%. Сколько ложноположительных результатов FP ожидается?
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 50 и стандартным отклонением 15. Найдите z-оценку z для результата 32.
μ = 50σ = 15x = 32
z =
5.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 6 элементов имеет среднее 61,5 и стандартное отклонение s = 13. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.
n = 6x̄ = 61,5s = 1399%t(5) = 4,032
нижняя граница =
6.Доверительные интервалыСложная
Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 9 участков, средний урожай 56 kg, стандартное отклонение 7 kg. Группа участков 2: 8 участков, среднее 55 kg, стандартное отклонение 7,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 17 студентов, средний балл 20,5, стандартное отклонение 9. Группа 2: 9 студентов, средний балл 26, стандартное отклонение 8,5. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).
n₁ = 17x̄₁ = 20,5s₁ = 9n₂ = 9x̄₂ = 26s₂ = 8,5
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 49 измерений имеет среднее 55. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 12. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 55σ = 12n = 4999%
U =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: ARR = 14,4 %
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Частота событий
EER = 57/390 = 0,1462
CER = 113/390 = 0,2897
Абсолютное снижение риска
ARR = 0,2897 − 0,1462 = 0,1436 ≈ 14,4%
Ответ
ARR = 14,4%
2.Статистика доказательной практики
Ответ: FP = 1694
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
С заболеванием и без него
10 000·0,23 = 2300
10 000 − 2300 = 7700
Ложноположительные
FP = 7700·0,22 = 1694
Ответ
FP = 1694
Из 3465 положительных результатов только 1771 относятся к больным (PPV 51,1%).
3.Описательная статистика
Ответ: s = 15,79
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (32 − 50)/15 = −1,2
Ответ
z = −1,2
5.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 40,1
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 5, t = 4,032
Предельная ошибка
E = 4,032·13/√6 = 21,4
Интервал
61,5 ± 21,4 → [40,1, 82,9]
Ответ
нижняя граница = 40,1
6.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = −5,165 kg
Интервал для разности: оценка ± критическое значение × стандартная ошибка. Для двух независимых средних при известных σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) и z. При равных неизвестных дисперсиях: объединённое s_p и t с n₁ + n₂ − 2 степенями свободы. Для парных данных работайте с разностями: d̄ ± t·s_d/√n.
Объединённое стандартное отклонение
sp² = (8·7² + 7·7,5²)/15 = 52,38
sp = 7,238
Предельная ошибка
E = 1,753·7,238·√(1/9 + 1/8) = 6,165
Интервал
1 ± 6,165 → [−5,165, 7,165]
Ответ
нижняя граница = −5,165 kg
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −1,51
Проверка гипотезы: статистика критерия = (оценка − значение при H₀)/(стандартная ошибка при H₀). p-значение — это вероятность при условии истинности H₀ получить статистику, не менее экстремальную, чем наблюдаемая: площадь одного хвоста для односторонней H₁ и удвоенная площадь хвоста для двусторонней H₁. Отвергайте H₀, если p ≤ α.
Объединённая дисперсия
sp² = (16·9² + 8·8,5²)/24 = 78,08
sp = 8,836
Стандартная ошибка
SE = 8,836·√(1/17 + 1/9) = 3,643
Статистика критерия
t = (20,5 − 26)/3,643 = −1,51
Ответ
t = −1,51
При df = 24 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,064; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: U = 59,42
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).