Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В когорте группы людей наблюдали в течение разного времени (см. таблицу: число людей и годы наблюдения для каждой). За время наблюдения возникло 129 новых случаев. Найдите показатель заболеваемости IR на 1000 человеко-лет. Округлите до одного знака после запятой.
480 × 5 годы60 × 1 год170 × 2 годы129 новые случаи
IR = на 1000 человеко-лет
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). У пациента вероятность заболевания до теста составляет 50%. Тест с чувствительностью 76% и специфичностью 72% даёт результат: положительна. Найдите вероятность заболевания после теста p′ в процентах. Округлите до одного знака после запятой.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 50 и стандартным отклонением 5. Найдите z-оценку z для результата 53.
μ = 50σ = 5x = 53
z =
5.Доверительные интервалыСредняя
90 % доверительный интервал для среднего, построенный по 64 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 2,6. Какой будет предельная ошибка E₂, если в том же исследовании использовать 16 наблюдений?
90%n₁ = 64E₁ = 2,6n₂ = 16
E₂ =
6.Доверительные интервалыСложная
Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,1 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 95 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,025?
p ≈ 0,1E = 0,02595%
n =
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 5 студентов, средний балл 43, стандартное отклонение 12. Группа 2: 11 студентов, средний балл 23, стандартное отклонение 10. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).
n₁ = 5x̄₁ = 43s₁ = 12n₂ = 11x̄₂ = 23s₂ = 10
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 49 измерений имеет среднее 72,4. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 8. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 72,4σ = 8n = 4999%
U =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: IR = 46,1 на 1000 человеко-лет
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Человеко-годы
PY = 480·5 + 60·1 + 170·2 = 2800
Показатель заболеваемости
IR = 129/2800·1000 = 46,1 на 1000 человеко-лет
Ответ
IR = 46,1 на 1000 человеко-лет
2.Статистика доказательной практики
Ответ: p′ = 73,1 %
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Отношение правдоподобия
LR+ = 0,76/(1 − 0,72) = 2,714
Шансы до теста
0,5/(1 − 0,5) = 1
Шансы после теста
1·2,714 = 2,714
Вероятность после теста
p′ = 2,714/(1 + 2,714) = 0,7308 ≈ 73,1%
Ответ
p′ = 73,1%
3.Описательная статистика
Ответ: s = 20,38
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (53 − 50)/5 = 0,6
Ответ
z = 0,6
5.Доверительные интервалы
Ответ: E₂ = 5,2
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Отношение предельных ошибок
E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(64/16) = 2
Новая предельная ошибка
E₂ = 2,6·2 = 5,2
Ответ
E₂ = 5,2
6.Доверительные интервалы
Ответ: n = 554
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Выразите n
n = 1,96²·0,1·0,9/0,025² = 553,2
Округлите вверх
n = 554
Ответ
n = 554
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 3,495
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Объединённая дисперсия
sp² = (4·12² + 10·10²)/14 = 112,6
sp = 10,61
Стандартная ошибка
SE = 10,61·√(1/5 + 1/11) = 5,723
Статистика критерия
t = (43 − 23)/5,723 = 3,495
Ответ
t = 3,495
При df = 14 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,145; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: U = 75,34
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).